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“定理和证明”教学设计

[教学目标]

1.知道公理和定理的概念,了解证明的必要性,能说出证明过程中推理的依据。

2.能说出前面学过的5个公理,熟悉综合法证明的格式。

此外,在练习的过程中加强逻辑推理训练,逐步培养学生的逻辑思维能力。

[引导性材料]

复习前一课学习的有关命题的知识。练习(口答):

1.判断下列命题的真假:

(l)过两点有且仅有一条直线。

(2)如果两个角是同位角,那么这两个角相等。

(3)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。

(4)如果两个角互补,那么它们是邻补角。

(5)垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

2.(1)、(3)、(5)这三个真命题是如何得到的?有什么不同?

通过学生讨论,查找教科书,指出(1)是“公理”,(3)、(5)都是经过说理后得到的真命题。从而引出新课。

3.我们学习过哪些公理?是怎样验证它们的?

4.我们学过的哪些性质和判定是经过推理得到的?

(这两个问题的回答,可以让学生边翻书边回答,互相补充,不要求回答得很完整,能举出3~4个例子即可。学生不难解答这两个问题,这就为新课教学打下基础。

[知识产生和发展过程的教学设计]

在学生回答前面问题的基础上,给出公理、定理和证明的概念。

1.经过人们长期的实践活动总结出来的真命题称为公理。如“过两点有且只有一条直线”;“两点之间,线段最短”;“同位角相等,两直线平行”等,它们的正确性是经过对无数图形的观察、测量证实的,可以作为判定其他命题真假的根据。

2.经过推理得到的真命题叫做定理。如“对顶角相等”;“内错角相等,两直线平行”;“垂直于同一条直线的两直线互相平行”等,它们都是根据已知条件、定义或公理,经过推理得到的真命题。作为真命题,定理也可作为继续推理的依据。

3.除公理外,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断。这个推理的过程叫做证明。如教科书的例正,它包括已知、求证、证明等内容。注意:推理和证明是有区别的,推理是证明过程中的组成部分。

说明:本课内容比较抽象,理论性较强,在教学过程中注意多结合以前学过的公理、定理和证明的例子,一方面可以复习巩固学过的知识,另一方面也有助于对新知识的理解。

4.在例1的基础上,可以得到:

一个量用与它相等的量代替,叫做等量代换。

[例题解析]

例1:证明:两直线平行,内错角相等。

(分析:要证明这个关于平行线性质的一个定理,可以想到应用平行线的性质公理以及“对顶角相等”的性质。本题的推理过程比较简单,通过教师的讲解及书要给学生以示范。)

图2.10-1

如图2.10--1,已知:直线a∥直线b,直线c与直线a、b相交。

求证:∠1=∠2。

证明:∵a∥b(已知),

∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)。

∵∠1=∠3(对顶角相等),

∴∠1=∠2(等量代换)。

(讲授本例的目的是使学生了解什么是证明,了解证明几何命题的格式和步骤。讲解的时候要注重证明步骤、格式的教学。解题时要提醒学生注意以下几点:

(l)先要把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言。

(2)证明中的每一步都要有根据,这些根据可以是已知条件,也可以是定义、公理或已经学过的定理。在初学证明时,要求把根据写在每一步推理后面的括号内。

(3)有些理由,像“已知”、“已证”、根据定义(如垂直、平行的定义)以及等量代换,利用等式性质加减乘除等代数运算也可以不注理由。)

[练习]

课本第106页练习第l、2题。

注意:两个题图形中的角都可以用三个字母表示,为了看起来容易,都标明代号,以后证明中也可以这样。这样能使书写简单,看起来一目了然。

[小结]

复习一下定理、公理、证明的概念。

[作业]

课本第110页习题2.3A组第1(1)、(2)题,第3(1)、(2)、(3)题。

思考题:证明一个几何中的真命题需要哪些步骤呢?(要求学生结合课堂上的例题、练习及课后的作业作出归纳。)

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