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“平行线的判定”教学设计

[教学目标]

1.能说出平行线的判定公理,即“同位角相等,两直线平行”;能说出判定公理的第一个推论,即“内错角相等,两直线平行”。

2.会用数学语言表示平行线判定公理及其推论,并能根据它们做简单的推理证明。

此外,本节课的教学中还介绍了两种重要的数学思想方法,即化归和分类的思想方法。

[引导性材料]

通过上一节课的学习,学生对平行线的意义已有了较深的认识,但这种认识仅是直观的、感性的认识,而要来说明两直线平行,还只有两个途径:平行线的定义及平行公理的推论,其中平行公理的推论对条件要求较强,要有三条平行线,且其中的两条分别与第三条平行。如果用平行线定义更难以说明两条直线没有交点,因而,需要通过其他途径寻找判定两条直线平行的更普遍的方法。

参照教科书第79页图,制作三根木条组成的教具模型,或让学生用纸条制作类似的教具。展示时,可先摆成一般情况的三条直线相交,让学生指出“三线八角”中各对角的关系名称,既复习旧知,又为后面新课学习作好准备。随后按照教科书第79页所述对其进行旋转变化,并提问:两个同位角(或内错角)的大小有什么关系时,这两根木条互相平行?(让学生大胆猜想。)

[知识产生和发展过程的教学设计]

问题1—1:如图2.5—1(即教科书第79页图2-23),我们已经会用三角板和直尺过点p画直线AB的平行线CD,你能发现这种画法实际上是画哪两个角相等?

(由学生观察并说出∠DHG=∠BGF,然后指出这两个角是直线AB、CD被EF截得的同位角,这又一次说明了一个大家公认的事实。)

图2.5-1

问题1-2:怎样正确地叙述上面这个公认的事实?

(引导学生准确表述平行线判定公理,简单记为“同位角相等,两直线平行”。)

问题1—3:结合图2.5—1,使用数学的语言表述平行线的判定公理:

∵∠DHG=∠BGF

∴AB∥CD

(进行文字语言翻译为符号语言的训练,教师给出板书,同时为公理的应用奠定基础。)

问题1-4:根据图2.5—2,完成下面的推理过程。

∵∠____=∠____

∴a∥b

(本题有四种答案,设计此问既帮助学生熟悉判定公理,又使学生知道,只要有一对同位角相等,就可以判定两直线平行。)

图2.5—2

问题1—5:用平行线判定公理判定某个图形中的两条直线平行,需要什么条件?

首先要在这个图形(可能是复杂图形或变式图形)中找出同位角,其次这两个角大小要相等。

如图2.5—3中,由∠1=∠2,可判定pM∥QN。学生容易误认为由∠3=

∠4,也可判定pM∥QN。而事实上,∠3与∠4不是同位角。

图2.5—3

问题2—1:根据课堂教学的实际情况,选择以下两种方案中的一种提出问题:

方案一:如果学生在前面教具演示中提出过“内错角相等,两直线平行”的猜想,则教师可因势利导,提出问题:你会应用刚刚学习的判定公

理说明刚才的猜想是正确的吗?

方案二:教师直接提出问题,如图2.5—4。根据平行线判定公理,由∠1=∠2可判定a∥b,那还有别的方法可以判定a∥b?也就是说只要具备什么条件,就可以断定∠l=∠2,从而判定a∥b呢?

(让学生观察、思考,若学生有困难,可提示学生同位角、内错角及同旁内角之间有着很紧密的联系,从而找出“条件”∠2=∠3或∠2+∠4=180°”。如果学生说出“∠2+∠4=180°”的条件,可把它作为下节课的引导性材料。)

图2.5—4

问题2—2:如图2.5—4,如果有∠2=∠3,怎样判定a∥b?

(让学生试述推理过程,教师板书如下:

∵∠3=∠2(已知),

∠1=∠3(对顶角相等),

∴∠1=∠2。

{∵∠1=∠2(已证)}

∴a∥b(同位角相等,两直线平行)。

图2.5-4

对于上面推理过程作以下说明:

1.[〕内的“∵∠1=∠2”,是上一步推理得到的结论,通常可省略,这里写出来是让学生养成有根有据地推理,条理清晰;

2.第三步∠1=∠2的推出理由是“等量代换”,而不应视作没有理由;

3.上述过程把“内错角相等”转化为“同位角相等”,从而得到判定两直线平行的新方法,这种“转化”的思想十分重要,要让学生细致体会。)

问题2-3:你能用语言叙述这个判定方法吗?

(由学生口述,教师纠正,从而得出平行线判定公理的推论1“内错角相等,两直线平行”。)

问题2-4:结合图2.5-2,根据这个推论,填写下列空格:

∵∠____=∠____

∴a∥b

(要求学生写出∠2=∠7,∠4=∠5两种。)

[例题解析]

例如图2.5-5,BE是AB的延长线,DF是AD的延长线,∠CBF=∠A=∠C。

1.由∠CBF=∠A,可以判定哪两条直线平行?依据是什么?

2.由∠CBE=∠C,可以判定哪两条直线平行?依据是什么?

3.要证明AF∥BC需要哪些角相等?

4.要证明AE∥DC需要哪些角相等?

(本例题是对教科书第80页练习第3题的扩展。其中前两间是公理及推论的直接应用,而后两问的答案不唯一,要训练学生从不同的角度寻找答案,以拓宽学生的解题思路。如果学生接受情况较好,还可将本题扩展,如延长DC、BC或连结AC等,使图形复杂化,再让学生回答后两问。)

图2.5-5

〔小结〕

这节课从实践出发,得到了平行线判定公理,并且根据这个公理经过推理得到了判定两直线平行的另一种方法。不仅要知道这些结论,还要知道他们是怎么得到的,要正确地结合图形用符号语言表述公理和推论。

此外,在得出推论1及解答例题后两问的过程中,介绍了一些思考问题的方法,在今后的学习中十分有用。

[作业]

课本第80页练习第1、2题;第97页习题2.2A组第4、5题。

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