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“平行线及平行公理”教学设计

[教学目标]

1.能说出平行线的意义,平面内两条直线的两种位置关系──相交和平行,以及异面直线的意义;能区别空间两直线的位置关系与平面内两直线的位置关系;能说出平行公理及平行公理的推论。

2.会根据平行公理推论画出相应的图形;会用数学语言表示平行公理推论;会用平行公理推论作简单推理。

此外,通过本堂课的教学还可初步渗透反证法,分类讨论、探索归纳由特殊到一般的数学思想。

[引导性材料]

(几何是门研究物体的形状、大小、位置关系的学科,在以前的几何学习中,学生已对平面内点与点间的位置关系,点与线的位置关系,线与线的位置关系中的一种──相交关系已比较熟悉,本堂课是对平面内线与线的另一种位置关系──平行进行教学,)

平行这个名称学生都早已熟悉,而这样的图形在现实生活中也到处存在。可以先请学生举出生活中的例子。(如课本第73页图2—16的例子,又如建筑物外沿,一些规则的方形物体的边界等。),再请学生说出这些图形的共同点。

[知识产生和发展过程的教学设计]

问题1—1:如何用精确的数学语言描述平行的定义?

(先由学生尝试描述,教师指点后,给出平行线的定义:同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。)

问题1—2:如何来画表示平行关系的图形?以及如何用数学语言来表示平行?

(详见课本第65页)

问题1—3:根据平行线的定义,两条直线平行必须符合什么条件?

(1)同一平面内;

(2)没有交点.

(这两个条件是平行线定义的两个本质属性。学生通常忽视“在同一平面内”这一点,教师可指出:没有交点的两条直线不一定是平行直线。教师可演示:纵横交叉的两条直线,虽没有交点,但不平行。从而强化学生对“平行线”概念的第一个本质属性的感知。)

问题1—4:同一平面内,两直线的位置关系有几种?如果问题改为“同一平面内,两条直线的交点情况有几种?”又该如何回答?

(两个问题的内容实际上是一样,这样设问是为了引导学生从不同的角度看问题,同时也为后面的例题的提高作铺垫。)

问题2—1:如果不限定两条直线“在同一平面内”,那么空间里的两条直线除了相交、平行以外,还有什么别的位置关系吗?你能否举出实例?

(学生举出实际例子,或用两支铅笔演示均可。然后教师给出异面直线的定义。异面直线的有关内容大纲上的要求仅是“了解”,因而这里不需花太多时间,只要利用实例、实物演示说明即可。)

问题2—2:现在你能说出空间两直线有哪几种位置关系吗?

(学生回答后,教师引导他们进行如下分类:

问题3—1:如图2.4-1(1)你会过点p画直线l的平行线吗?这样的平行线可以画几条?

图2.4-1

(学生在小学已学过用直尺和三角尺画平行线,可以让学生自己动手画图,教师应适时地强调以下两点:

(1)三角尺的一边要与已知直线重合。

(2)三角尺沿着直尺平移时,直尺不能移动。

学生画图后,再回答上述第二问,说明过点p只能画一条直线平行于直线l。)

问题3-2:如图2.4—1(2),你能过点p画直线l的平行线吗?

问题3-3:根据上面两次画图的体会,我们能得到什么结论呢?

(如果学生一时茫然,教师可以用“垂线的公理”启发,学生试述后,教师揭示“平行公理”。)

问题3-4:请把“平行公理”与“垂线的性质”作比较,它们有什么不同?

(“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这句话中,对“一点”没有任何限制;而“平行公理”中,这一点必须在直线外,所以“平行公理”与“垂线的性质”相比较,多了“直线外”三个字。)

问题4-1:如果在图2.4—l(1)中,再在l1、l2外取一点Q,过点Q画直线l的平行线l1(教师板演),你认为直线l1与l2平行吗?能不能说出理由?

(这样设问,可以让学生通过作图再次熟悉平行公理。学生凭直观,会大胆地猜想直线l1与l2平行,但无法用精确的数学语言来说理。教科书第74页倒数第6行开始,实际上是用了反证法说理。应当注意:这仅仅是反证法的一次渗透,决不是要给学生介绍反证法的思路、步骤以及适用情况等。教学中应选取在日常生活中用反证法思想作出判断的实例,与课本“平行公理”的说理相对照,让学生借助生活经验初步感知这种“反驳”说理的方法,确认“平行公理”推论的正确性。)

问题4-2:怎样把平行公理的推论,“翻译”成为结合图形的符号语言呢?

(在学生尝试后,教师板书如下:

如图2.4—l(1)

∵l∥l1,l∥l2

∴l1∥l2

如果在结论l1∥l2后面填写“平行公理的推论”作为理由,那么就成为证明两直线平行的一种推理模式。

顺便指出:有的学生可能会把上述推理的理由,说成是“等量代换”,这是把形的位置关系的传递性与等量代换相混淆,是知识的一种负迁移。)

问题4-3(本问题仅供参考选用)

(1)如果四条、五条、六条直线平行于同一条直线,那么这些直线平行吗?

(2)如果三条直线不在同一平面内,其中两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行吗?

[例题解析]

例请说明在同一平面内三条直线的位置关系及交点情况。

(本例难度较大,教学中可根据实际情况加以改编,要正确全面地回答这个问题,必须掌握分类的思想方法。

本例有多种分类:如以两条直线的位置关系分类,再考虑第三条直线的位置;又如以三条直线交点的个数分类等。以下提供的解法属上述第二种分类的方法。)

解:在同一平面内,三条直线的位置关系及交点情况可以分为:

(1)

图2.4-2

如图2.4-2,三条直线互相平行,此时交点个数为0。

(2)

图2.4-3

如图2.4-3,三条直线两两相交于同一点0,此时交点的个数为1个。

(3)

图2.4-4

如图2.4-4,两条直线平行,第三条直线与他们相交,此时交点的个数为2个。

(4)

图2.4-5

如图2.4-5,三条直线两两相交且不交于同一点,此时,交点的个数为3个。

综上可知,平面内三条直线的交点的情况有以上4种。

(这道例题的回答可让学生自己讨论回答,学生能比较容易地找出第1、4、3三种情况,第二种情况能考虑到的学生可能相对较少,但一经指出,学生会有种豁然开朗的感觉,这可使学生提高兴趣,同时,上述解题过程中还必须强化语言的组织表达的训练,因为简明、准确的表述有利于提高学生思维的条理性。)

[小结]

这堂课从实例出发,学习了有关平行的知识,通过这堂课的学习,不仅可能说出平行的意义,平行公理及其推论,并且要能将文学语言转化为结合图形的符号语言,并能应用这些知识进行简单的推理。此外,这堂课还用到了一些重要的思考方法:如用“反驳”说理的方法,推出了平行公理;用特殊到一般的思想方法,用分类讨论的思想方法来研究同一平面内三条直线的位置关系。今后我们还要逐步地应用这些思想方法去研究其它的问题。

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