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“全章复习”教学设计

[教学目标]

1.会叙述相交线的有关概念和性质,会用这些概念或性质进行一些简单的推理或计算,能用直尺、三角板或量角器画垂线。

2.能以长方体(或正方体)为模型,说清空间里的直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系,并能说清这些知识之间的联系。

3.进一步熟悉和掌握几何语言,即能把过去学过的概念和性质,用图形和符号语言表示出来,并能用语言来说明几何图形。

此外,“以知识本身的价值吸引学生”,从而感到认识事物的乐趣,千方百计地让学生的学习兴趣趋于稳定,并逐步转化为较高级的“志趣”。

[复习过程的教学设计]

指导学生阅读课本第113页:小结与复习

(1.教科书在内容提要中以网络图的形式展示了相交线和平行线两个分支的内容及其联系,引导学生阅读内容提要,使他们明白所学知识的系统性,以及为什么研究直线位置关系时要研究一些角的关系。提问其中的定义、公理、判定方法、性质的内容,全面系统地复习一遍。

2.在全面复习的基础上,特别注意突出重点,即垂线与平行线的概念、判定和性质,以及命题的组成和证明。

3.引导学生自己疏理知识,学会总结。复习时还要注意:(1)有些概念是结合图形描述给出的,如对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角等,不要让学生去背诵描述的语言,而重点是使学生能在图形中辨认;(2)教科书上“三、需要注意的几个问题”中提出的问题,一般是学生感觉困难或易出错误的地方。例如,几何课本来就是研究图形性质的学科,但有的学生却不注意利用图形,忽视图形在解决问题中的作用,画图不按规矩等,复习中要让学生重视这些问题;(3)有些概念或图形的性质,如对顶角与邻补角,点到直线的距离与垂线段,平行线的判定与性质等,可以通过分析它们的联系和区别。以加深对它们的理解。)

画图,并用符号语言表示:

1.两条直线相交。

2.两条直线被第三条直线所截。

安排两各学生板演。

直线AB和CD相交于点O。(图1)

图1

直线EF与直线AB、CD分别相交于点G、H。(图2)

图2

问题1:两条直线相交得到几个角?

这四个角中,相邻的两个角有什么关系?(互为邻补角)

∠1与∠3、∠2与∠4有什么关系?(对顶角相等)

这条性质是公理还是定理?为什么?(是定理。因为它的正确性是用推理证实的。)

说出它的题设和结论。

问题2:什么叫做两条直线互相垂直?(提醒学生注意:两直线垂直是它们相交的一种特殊情况。可用教具演示图形的运动变化,渗透从一般到特殊的思维方法。还要提醒学生今后如果遇到两线段垂直、两射线垂直、线段与射线垂直、线段或射线与直线垂直,都是指它们所在的直线互相垂直。)

问题3:与垂直有关的知识中,有哪些重要结论?

(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

(2)直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短。

(3)垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

(4)平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。

(5)平面内,一条直线不可能与两条相交直线都垂直。

(6)一条直线如果与两条平行线中的一条垂直,那么它与另一条也垂直。

(7)如果两条直线互相垂直,那么所成的角是直角。

这是一个开放型思考题,应让学生充分讨论,以训练他们思维的敏捷性、广阔性。)

问题4:什么叫做点到直线的距离?

想一想,足球比赛中如何确定罚点球的位置?如图3,罚点球的位置p与球门线L的距离就是垂线段pA的长,其中pA=12码(12码≈11米)。

图3

问题5:在教室中,墙角这一条棱与哪个面垂直?

哪些棱与地面垂直?

黑板这个面与哪些面垂直?

哪些面与天花板这个面垂直?

再观察墙角处的三条棱和三个面,它们之间有哪些垂直关系?

问题6:在图2中,哪些角是同位角?内错角?同旁内角?

同位角相等吗?内错角呢?同旁内角互补吗?

(同位角、内错角。同旁内角的定义都是结合具体图形描述的,不要求学生背诵定义,但要求学生能在图形中正确地辨认这些角,掌握辨别这些角的关键是哪两条直线被哪一条直线所截。分清哪一条直线截哪两条直线形成了哪些角,是作出正确判定的前提。在截线的同旁,找同位角,同旁内角,在截线的不同旁,找内错角。)

[例题解析]

例1如图4,直线AB、CD、EF相交于点O。

(l)共可组成几对对顶角?

(2)哪个角与∠A°E是邻补角?

(3)若∠AOE=45°,∠AOC=90°,则∠FOC,∠BOF,∠BOE各等于多少度?

(4)∠AOE+∠DOF=?它们是互为补角吗?是邻补角吗?

分析:(1)由于每两条相交直线可组成两对对顶角,而三条直线相交于一点可以分成a与b相交、b与c相交、c与a相交,故一共可组成2×3=6对对顶角。列举如下:

∠AOC与∠BOD,∠AOD与∠BOC,∠AOE与∠BOF,∠AOF与∠BOE,∠COE与∠DOF,∠COF与∠DOE。

(基础较好的教学班可以适当增加难度,即增加直线(n≥2),两两相交时可组成n(n-1)对对顶角。)

(2)∠BOE、∠AOF与∠A°E均为邻补角。

(3)(4)答案略。

图4

例2

指出图5、图6、图7中的同位角、内错角、同旁内角。

图5 图6 图7

(这三题集中进行识图技能的训练,把图2中的直线CD、EF分别改画成射线即得图5,以排除“三线八角”定义中非本质属性---“三线”不一定都是直线,也可以是射线或线段;图6是图2的变式,改变了图2中两条直线的水平旋转、第三条直线竖放的非本质属性,以提高学生识别变式图形的技能;图7是把图6画成局部封闭的图形(即对图2、图5、图6中不封闭的图象进行变式),以提高学生排除“干扰”、正确识图的技能。)

例3在图11中找出两对内错角、两对同旁内角,并指出是哪两条直线被哪一条直线所截得的,把构成一对内错角的部分图形画出来。(此题答案不唯一,学生可以从多方面去感知图形,有助于训练他们识图的技能。)

图11

[练习]

1.若图5中∠1=∠4,则∠1与∠2相等吗?

∠1与∠3互补吗?为什么?

(可考虑两种证法)

2.下面说法对吗?如果对,画出图形。

(1)画出点p到直线L的距离;

(2)过线段AB的中点C,作CD上AB;

(3)已知线段a和线段a外的一点p,作p°⊥a,垂足为°;

(4)已知直线L上一点M和直线外任一点N,连结MN,使MN⊥L。

(第(1)题距离是数,不是图形;第(2)题先画出点C,再过点C画AB的垂线;第(3)题垂足可以在线段a的延长线上;第(4)题说法不对。)

3.平面上有5个点,其中仅有3点在同一直线上,作几条直线?

(设五点为A、B、C、D、E,其中C、D、E三点共线。点A与B、C、D、E中每一点均可确定一条直线,共有4条;点B与C、D、E中每一点均可确定一条直线,共有3条。剩下的C、D、E只能作一条直线,总计4+3+1=8条。)

4.平面上互不重合的三条直线的交点个数是()

A.1,3B.0,1,3

C.0,2,3D.0,1,2,3

(三条直线互相平行,交点为0个;三条直线交于一点,交点有1个;仅有两条直线平行,交点有2个;三条直线两两相交且不共点,交点有3个,以上四种情况均有可能,所以选D。)

5.根据图12,判断下列说法是否正确:

(l)∠1与∠2是同位角;()

(2)∠3与∠4是同位角;()

(3)∠4与∠5是内错角;()

(4)∠6与∠5是内错角;()

(5)∠2与∠5是同旁内角;()

(6)∠2与∠7是同旁内角。()

〔小结〕

图12

(适时的对概念进行分类,防止概念的混淆,并逐步把零碎的概念形成越来越完整的、清晰的概念系统,从而在系统中更好地掌握概念。)

在识图技能训练中,拟选用教材中经常使用的图形,以提高识图训练的针对性和效益;还可随时通过调查,模清各个阶段多数学生识图技能的实际水平,使识图训练切实可行,确有成效。

[作业]

课本第120页自我测验二。

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