垂线 (第一课时) 教学设计

§5.1.2垂线 (第一课时)

【教学重点与难点】

教学重点：两条直线互相垂直的概念、性质和画法.

教学难点：过一点作已知直线的垂线

【教学目标】

1、了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.

2、 经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力.毛

【教学方法】

通过创设情境，以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索。教学环节的设计与展开，都以问题的解决为中心，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点。

【教学过程】

一、 复习回顾 引入新课

（设计说明：回顾邻补角、对顶角的概念及性质，为研究两线垂直所形成的四角之间的特殊关系作准备，而相交线模型的演示，从运动的角度，让学生感受两线相交从一般到特殊再到一般的过程，加深学生对垂直特殊性的认识。）

1、回忆邻补角、对顶角的定义及性质

2、教师出示相交线的模型,演示模型,学生观察思考：

固定木条a，转动木条b, 当b的位置变化时，a、b所成的角α是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时，a、b所成的四个角有什么特殊关系?为什么?在转动木条b的过程中，这种特殊情况的位置有几个?

教师在组织学生思考交流后总结得出：当b的位置变化时，角a从锐角变为钝角，其中∠α是直角是特殊情况。其特殊之处还在于：当∠a是直角时,，它的邻补角，对顶角都是直角，即a、b所成的四个角都是直角，都相等。并且在转动木条b的过程中，这种特殊情况的位置只有1个。

同学们对两线相交的这种特殊情形并不陌生，在小学接触过，我们身边也存在大量的这种情形，请同学们再举一些例子。

学生回答的情况可能很多，比如：教室里课桌面、黑板面的相邻两条边, 方格纸的横线和竖线……,

对于这些两线相交的特殊情形我们称之为两条直线互相垂直，在这节课中我们将系统的研究与垂直有关的知识。

（教学说明：垂直是两线相交的特殊情形，两线垂直所形成的四角之间的关系，需要利用邻补角和为180º，对顶角相等来得出因此通过问题1引导学生回忆有关内容是非常必要的；相交线模型的演示与有关问题的引导，使学生对垂直的认识由感性上升到理性，从而加深学生对垂直的理解。）

二、|探索新知

（一） 归纳总结，得出垂直的有关定义

（设计说明：引导学生归纳总结垂直的定义并用符号表示，可以启发学生的思维，锻炼学生的用不同语言表达数学问题的能力，而及时地初步应用可以加深学生对知识的认识）

1、 引导学生给出垂直定义.

问题：根据前面的活动，你能说出什么样的两条直线互相垂直吗?

鼓励学生大胆发表自己的见解，学生可能会说两条直线相交所构成的四个角都是直角时，两条直线互相垂直，这时可以引导学生认识到两线相交所构成的四个角中只要有一个角是直角就可以得出其它三个角也是直角，因此可以说

两条直线相交所构成的角中有一个角是直角时，我们就称这料条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足

注意引导学生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。 如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”， 如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。

2、 垂直的表示法

许多几何图形都可以用符号来表示，例如，角用“∠”表示，三角形用“△”表示等等，垂直也有它自己的符号，垂直用符号“⊥”来表示，“直线AB垂直于直线CD， 垂足为O”，就可记为AB⊥CD,垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.

我们可以借助图形将垂直的定义用符号表示出来（引导学生明确垂直定义的条件与结论，然后用符号表示出来）

如图，若直线AB、CD相交于点O,∠BOC=90º,则AB⊥CD,垂足为O

根据定义还可以得到：

如图：若AB⊥CD,垂足为O，则∠AOC=∠BOC=∠BOD=∠AOD=90º

3、初步应用

（1）、判断以下两条直线是否垂直

①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角。

②两条直线相交所成的四个角相等。

③两条直线相交,有一组邻补角相等。

④两条直线相交,对顶角互补。

(教学说明：两条直线垂直的定义在小学已经学过，因此课本没有再次给出它的定义，但是为了让学生更加系统地认识垂直，因此在教学中可再次明确给出垂直的定义，并且借助图形用符号语言来表示，可以让学生从文字语言、图形语言、符号语言不同的角度来认识垂直，并且实现了三种语言之间的转化，在此过程中不仅培养了学生用几何语言表达问题的能力，同时还可以发展学生的符号感。类比其它图形的符号表示得出垂直的符号，自然贴切且便于学生理解记忆；初步应用是考查学生对垂直地掌握，通过这一问题让学生把握其实质的。)

二、 画图实践,探究垂线的性质

（设计说明：让学生充分动手，充分思考，让学生在动手与思考中，明确垂线的画法，理解垂线性质的正确性，同时培养学生的动手能力与合作意识）

下面的活动，可以向学生独立尝试，后小组交流 ，可以让学生到黑板演示用三角板或量角器画垂线的方法

1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.

(1) 已知直线L(教师在黑板上画一条直线L)，让学生画出直线L的垂线。

教师提问学生

:问题：还能画出L的垂线吗?能画几条?

通过师生交流，使学生明确直线L的垂线有无数多条，即存在，但有不确定性。

（2）在直线L上取一点A，过点A画L的垂线，如何画，能画几条?你从中得到什么结论?

通过画图得出结论：经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

(3)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?

结论：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书：

垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

2.变式训练，巩固垂线的概念和画法，如图根据下列语句画图：

(1)过点p画射线MN的垂线，Q为垂足。

(2)过点p画射线BN的垂线，交射线BN反向延长线于Q点。

(3)过点p画线段AB的垂线，交线AB延长线于Q点。

学生画完图后，教师归结:画一条射线或线段的垂线， 就是画它们所在直线的垂线。

（教学说明：在本环节的教学中有两个重要的任务，除了让学生掌握垂线的性质1外，还应让学生在探究性质的过程中，掌握过一点作已知直线的垂线的方法，它是几何作图中的一种常用的基本作图，需要学生熟练掌握，虽然学生在小学已经接触过垂线的画法，但要在各种情景熟练作图，对学生来说也是个难点，尤其是过已知点作线段的垂线，因此在这一环节的教学中给了学生充分的机会来感受、体会、总结、训练垂线的画法，教师也可以在此基础上演示总结，用三角板过一点画已知直线的垂线的方法：一靠即三角板的一条直角边靠已知直线也就是与已知直线重合，二过即三角板的另一条直角边过已知点，三画即画出垂线，使学生能够顺利突破难点）

三、巩固训练 熟练技能

（设计说明：通过形式不同的练习加强学生对知识的理解，训练学生灵活应用知识解决问题的能力）

1、判断题.

（1）、两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等( )

（2）、在同一平面内一条直线不可能与两条相交直线都垂直( )

（3）、两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相等，那么这两条直线互为垂直（ ）

2、已知钝角∠AOB,点D在射线OB上

(1)画直线DE⊥OB

(2)画直线DF⊥OA，垂足为F

3、如图1，OA⊥OB，OD⊥OC，O为垂足，若∠AOC=35°，求∠BOD的度数。

参考答案：

1、∨ ∨ ∨

2、（略）

3、∠BOD=145°

（教学说明：是非判断题的特点是通过一些模糊的说法考察学识对知识的理解是否全面严谨，利用这种问题可以澄清学生对知识的模糊或错误理解，因此在处理时不仅要让学生判断出对错，还要错的举出反例，对的说明理由；对于第2个判断题学生可能很容易判断出对错，但不一定能说清理由，注意引导学生分析出其依据是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，还可以根据学生情况将这一说法改编，将在“同一平面内”这一条件去掉，结论又会怎样，可以借这一机会让学生认识平面内直线的位置关系与空间内直线位置关系的不同。练习3可以先让学生独立解决，写出过程，然后进行交流，发现不同的做法，以积累学生的知识经验，培养学生的发散思维）

四、反思总结 情意发展

（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）

问题1：本节课你学习了什么?

问题2：本节课你还有哪些疑问?

问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?

（教学说明：以上设计再次通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼知识，将其纳入自己的知识结构）

五、课堂小结

1．本节主要学习了两条直线互相垂直、垂线以及垂足的概念和垂线的一条性质。

2．会用三角板过一点画已知直线的垂线。

3．要关注三种语言文字语言、图形语言、符号语言之间的转化。

六、布置作业

课本第8页习题5.1第4、5题

（教学说明：及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，练习题第4题一方面加强学生动手操作能力的培养，同时也是学通过折纸更加深入地理解垂直、垂线的概念，以及垂线“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的性质；第5题是训练学生画垂线，其实质是做梯形的高，因涉及延长线段，部分学生可会有困难，注意指导。）

七、拓展练习

（设计说明：在学习基础知识的基础上，拓展学生思维，提高学生的学习兴趣。）

1、填空题

（1）、如图2,AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.

（2）、如图3,直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB的位置关系是_________.

2、解答题

已知：如图,直线AB与射线OC交于点O，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，试判断OD与 OE的位置关系。

参考答案：

1、（1）60° （2）垂直

2、垂直（推理过程略）

（教学说明：教学时可根据实际情况选择，可让学生合作交流，共同解决问题）

【评价与反思】

数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上，因此，在新课的开始首先复习了研究垂直所需要的邻补角、对顶角的有关知识，为下面活动的开展做好了准备，在教的过程中通过多种形式的活动给学生提供充分参与数学活动的机会，激发学生的学习积极性，通过动手操作、合作交流、练习、反馈等各个环节，使学生掌握知识的同时，培养了学生的动手能力、表达能力以及合作的意识。

教学设计上，强调自主学习，注重交流合作，让学生与学生的交流合作在探究过程中进行，使他们在自主探索的过程中理解和掌握两线垂直的有关概念、垂线的性质，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力。