多边形的内角和 教学设计示例1教案

§7.3.2多边形的内角和

【教学重点与难点】

教学重点：1．多边形的内角和公式．

2．多边形的外角和公式．

教学难点：如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和．

【教学目标】

1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．

2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．

【教学方法】

以引导为主，让学生自主探索，让学生感受利用旧知识解决新问题的方法，培养学生化归思想的应用．

【教学过程】

一、回顾旧知 提出问题

（设计说明：通过问题回顾三角形内角和定理，引导学生利用这个定理探索多边形的内角和．）

问题1：你知道三角形的内角和是多少度吗?

学生回答：三角形的内角和等于180°．

问题2：你知道四边形的内角和是多少吗?

学生回答：四边形的内角和等于360°．

问题3：你是如何得到这个结论的?

学生回答：用量角器测量或剪下四个内角进行拼接，也可以借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和求得四边形内角和．如图所示：

（教学说明：回顾旧知的作用不仅是让学生对所学知识进行巩固，也是为后面的探索进行铺垫．而问题2学生在小学都已经学过，所以在问题3中，要引导学生关注数学的严谨性，并运用分割的方法解决问题．）

二、探索新知 解决问题

1．举一反三探索多边形的内角和

（设计说明：按照上面环节中探索四边形内角和的方法探索多边形的内角和．）

问题1：如图，请你利用分割的方法探索六边形的内角和是多少?

学生回答：可以将六边形分割成三角形或四边形来解决，如图：

	…

所以六边形的内角和等于720°．

问题2：选择其中两种将多边形分割成三角形的方法填入下表．

多边形的边数	图 形	分割出的三角形个数	多边形的内角和
4	SHApE \* MERGEFORMAT
5	SHApE \* MERGEFORMAT
6	SHApE \* MERGEFORMAT
…	…	…	…
n	SHApE \* MERGEFORMAT

学生回答：第一种分割方法：

多边形的边数	图 形	分割出的三角形个数	多边形的内角和
4	SHApE \* MERGEFORMAT	4	4×180°-360°
5	SHApE \* MERGEFORMAT	5	5×180°-360°
6	SHApE \* MERGEFORMAT	6	6×180°-360°
…	…	…	…
n	SHApE \* MERGEFORMAT	n	n×180°-360°

第二种分割方法：

多边形的边数	图 形	分割出的三角形个数	多边形的内角和
4	SHApE \* MERGEFORMAT	2	2×180°
5	SHApE \* MERGEFORMAT	3	3×180°
6	SHApE \* MERGEFORMAT	4	4×180°
…	…	…	…
n	SHApE \* MERGEFORMAT	n-2	（n-2）×180°

问题2：通过填表，你知道多边形的内角和公式是什么吗?

学生回答：多边形的内角和等于（n-2）×180°．

问题3：回想正多边形的性质，你街道正多边形的每个内角是多少度吗?每个外角呢?为什么?

学生回答：正多边形的每个内角都相等，每条边都相等．因为正多边形的每个内角都相等，所以它的每个外角也都相等，所以正多边形的每个内角的度数是，每个外角的度数是．

（教学说明：在问题1中，由于分割的方法很多，所以教师可以利用几何画板将学生所说的分割方法一一展示，但不宜过多，只选择比较容易理解的即可．而在问题2中，所给条件已经很明确，要运用两种将多边形分割成三角形的方法进行分割，所以要让学生注意审题．这里要让学生发现，通过不同的方法进行探索，虽然所得的结论有所差别，但都可以转化为同一种形式．所以教师要引导学生将两种不同的形式进行转化．而在问题3中，要先让学生回想起正多边形的有关性质，才能利用这些性质得到计算正多边形内角与外角的方法．）

2．合作探索多边形的外角和

（设计说明：从三角形的外角和出发，类比探索四边形、五边形的外角和，进而猜想多边形的外角和，并利用已学的多边形的内角和公式给予证明．通过类比和扩展方法的使用，使学生掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法．）

问题1：小组合作完成下表．

	三角形	四边形	五边形	六边形	八边形	十边形
内角和
外角和

学生回答：

	三角形	四边形	五边形	六边形	八边形	十边形
内角和	180°	360°	540°	720°	1080°	1440°
外角和	360°	360°	360°	360°	360°	360°

问题2：通过表格，你发现了什么规律?

学生讨论回答：①多边形每增加一条边，内角和就增加180°；②多边形的外角和都是360°．

问题3：试证明你的结论．

学生回答：①n边形内角和等于（n-2）×180°，（n＋1）边形的内角和等于（n-2＋1）×180°=（n-1）×180°．两图形内角和的差值为：（n-1）×180°-（n-2）×180°=360°．所以n边形每增加一条边，内角和就增加180°；②n边形的一个内角与和它相邻的外角的和是180°，所以n边形所有内角和所有外角的和就是n×180°；因为n边形的内角和是（n-2）×180°，所以外角和是：n ×180° -（n-2）×180°=360°．

（教学说明：本环节没有采用教科书中的例题引入，而是给了学生一个自由探索的空间，让学生亲身经历猜想与验证的过程，表格的形式不仅思路清晰，还有利于学生观察规律．对于这三个问题的设立，教师要注意：在问题1中要特别关注学生的合作交流，要提示学生每个结论的得出都要有理有据．而问题2中的规律，则是考查学生的观察力和思维力，所以只要学生的结论正确，理由充分，教师都要给予肯定．而问题3的设立则体现了数学的严谨性，在时间允许的情况下，教师可以要求学生写出完整的推理过程．）

三、巩固训练 熟练技能

（设计说明：通过基础练习，加深对三角形外角的认识，熟练基本技能．）

练习1：判断．

（1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（ ）

（2）当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（ ）

（3）三角形的外角和与八多边形的外角和相等．（ ）

（4）从n边形一个顶点出发，可以引出（n-2）条对角线，得到（n-2）个三角形．（ ）

学生：（1）×；（2）√；（3）√；（4）×

练习2：填空．

（1）一个多边形的内角和为4320°，则它的边数为 ．

（2）五边形的内角和为 ，它的对角线有 条．

（3）一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为 边形．

（4）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为 边形．

（5）如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加 ，外角和增加 ．

学生：（1）26；（2）540°，5；（3）十二；（4）八；（5）180°，0°．

练习3：选择．

（1）多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ）

A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角

（2）多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（ ）

A．八边形 B．九边形 C．十边形 D，十一边形

学生：（1）B；（2）C．

（教学说明：练习以基础为主，尽量避免重复性训练，让学生独立完成．特别是填空题的3、4小题，要注意所填的数字不能是阿拉伯数字，只能是中文的十二和八．）

四、反思总结 情意发展

（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）

问题1：本节课你学习了什么?

问题2：本节课你有哪些收获?

问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?

（教学说明：以上设计再次通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构）

五、课堂小结

1．本节主要学习多边形的内角和与外角和公式．

2．注意的问题：

（1）多边形的内角与它相邻的外角互为邻补角．

（2）多边形每增加一条边，内角和就增加180°．

六、布置作业

1、课本90页复习题7的2、5；

（教学说明：作业仍是以基础题为主，思路清晰，有得于加深学生对基础知识的理解．）

七、拓展练习

（设计说明：对已学的知识进行综合应用，培养学生的应变能力．）

练习1：若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的，求这个多边形的边数．

学生：因为多边形的每个内角与其相邻的外角之和为180°，所以设外角为x度，则内角为2x度，则有x＋2x =180，所以x=60．即这个多边形的每个外角都是60°，因为360°÷60°=6，所以这个多边形是六边形，有6条边．

练习2：n边形的n个内角与其一个外角的总和为1350°，则n等于（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

学生：选择D．（理由：①n个内角与其一个外角的总和必大于n边形的内角和，所以有，即；②因为多边形的每一个外角都不会大于180°，所以就有，即；因为n是整数，所以n=9．）

练习3：n边形的n个内角中锐角最多有（ ）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

学生：选择C．（理由：假设n边形的n个内角中有4个锐角，那么这4个锐角所对应的外角就是钝角，即大于90°．那这4个外角的和就要大于360°，这与多边形外角和等于360°矛盾，所以n边形的n个内角中最多有3个锐角．）

（教学说明：这三个练习都是多边形内、外角相联系的题，有一定的难度，所以教师一定要给予适当的引导，每道题都要让学生理解得到这种结论的理论根据，同时也要让学生明白，在多边形中，内角与外角并不是各自独立的，而是相互联系的，当我们利用内角解决不了问题时，可以尝试将其转换到外角去解决．这是一种思维的变换与转移，会随着学生数学知识的增加而逐渐熟练．）

【评价与反思】

本节主要介绍多边形的内角和与外角和公式，是一节自主探究课．

本节的知识内容就是要让学生通过探索多边形的内角和与外角和，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题．所以在教学过程中，教师可以放手让学生探索，利用多种方法进行研究．同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力．

在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法，让学生在获得数学活动经验的同时，提高探究、发现和创新的能力．