二元一次方程组 教学设计
§8.1二元一次方程组
教材分析
本节课是在学生对一元一次方程已有认识的基础上，学习二元一次方程与二元一次方程组的相关概念.由于求多个未知数的问题是普遍存在的，而方程组是解决这些问题的有力工具，因此有必要研究未知数多于一个的方程或方程组。
本节教学的重点是使学生了解二元一次方程、二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解．为使学生顺利掌握新知识，教学中利用实际问题背景，将抽象概念具体化，，类比一元一次方程的相关概念学习，重点研究二元一次方程的定义及其解的意义、求法，这样处理有利于学生掌握二元一次方程组的相关概念.
本节教学难点是求二元一次方程的特殊解，如正整数解，非负整数解等．由于二元一次方程有无数个解，而实际问题中常常需要求满足条件的部分解.为此，需要在理解二元一次方程解的定义的基础上，结合具体问题引导学生探索“不重不漏”的求法.找到解决问题的通法后，再结合题目特点、个人的经验寻找更简捷的方法，努力做到：尝试次数少，方程的解丢不了.
本课的教学首先从学生熟悉的实际问题入手，引导学生直接用x和y表示两个未知数，并进一步表示问题中的等量关系，列出方程。然后，以这两个具体方程为例，让学生类比一元一次方程的特征分析归纳二元一次方程的特征，得出二元一次方程的定义，并进一步探究二元一次方程的解。在此基础上，结合实例说明二元一次方程组及其解的含义，并在应用中逐步加深对概念的理解。
【课时分配】1课时
【教学重点与难点】
教学重点：二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解的意义，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解
教学难点：求二元一次方程的特殊解
【教学目标】
1. 能说出二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念，会检验所给的一组未知数的值是否是二元一次方程、二元一次方程组的解
2. 通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系
3通过对本课知识的探究与应用，提高学生的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力。
设计方案（一）
【教学方法】
以学生熟悉的问题为背景设计问题，引领学生积极思考、认真探究，在探索问题解决途径的过程中类比学习新概念.问题的解决采取以学生独立思考、相互交流为主，教师讲解点拨、归纳提炼为辅的方式进行，使教学过程成为在教师指导下学生自主探索的学习活动过程.
【教学过程】
一、创设情境 提出问题
（设计说明：从学生熟悉的文具、蓝球比赛中提出问题，引导学生思考，自然进入新课）
问题：
1.文具盒中有红、黄两种颜色的彩笔共10支，请猜一猜红色、黄色彩笔各多少支?
2. 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负.在一次比赛中， 甲队共参加了22场比赛，你知道在这次比赛中甲队胜、负场数分别是多少吗?
先放开让学生说，接着提出下面的问题：
思考：
（1）第1题中，若用x,y分别表示红色彩笔、黄色彩笔的支数，则可以得到怎样的一个方程? x＋y=10
第2题中，若用x,y分别表示甲队在全部比赛中的胜、负场数，则可以得到怎样的一个方程?
x＋y=22
（2）你得到的两个方程是一元一次方程吗?与一元一次方程比较有什么不同?如果让你给它起名字，你认为应该叫它什么合适?
（教学说明：学生对这两个问题的猜想会有多种答案，教师尽量让学生多说，为下一步理解二元二次方程解的不唯一性做准备，思考中的两个问题引导学生初步体会二元一次方程的特点）
二、探索新知 解决问题
1.二元一次方程的概念
（设计说明：由实际问题引导学生开始对二元一次方程概念的探索。学生自己归纳总结出方程的特点之后给出二元一次方程的概念，比直接定义印象会更深刻，有助于学生对概念的理解）
学生给方程x＋y=10,x＋y=22命名之后，类比一元一次方程进一步讨论下面的问题：
问题1：请你写出几个二元一次方程，和同桌交流，判断写出的方程是否符合要求
问题2：请找出二元一次方程的特点
①含有两个未知数 ②含未知数项的次数是一次 ③是整式方程
问题3：二元一次方程的定义(类比一元一次方程的定义由学生归纳得出)
含有两个未知数且含未知数项的最高次数都是1的方程叫二元一次方程
练一练：请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是?并说明理由
⑴2x＋5y=10 ⑵ 2x＋y＋z=1 ⑶
＋y=20 （4） x2＋2x＋1=0 ⑸2a＋3b=5 ⑹2x＋10xy =0
解析：（2）中含有三个未知数，（3）中含有分式，（4）中 x2的次数是2，（5）中10xy的次数是2，所以，（2）、（3）、（4）、（6）都不是二元一次方程，(1)、(5)是二元一次方程
（教学说明：本环节设计的问题引导学生用类比法分析二元一次方程的特征，逐步得出二元一次方程的定义，并在应用中进一步巩固对定义的理解）
2. 二元一次方程的解
（设计说明：用类比的方法学习二元一次方程解的意义，在求解的过程中体会二元一次方程解的不唯一性，在正确理解的基础上归纳出解决问题的一般方法）
问题1 ：满足方程x＋y=22且符合问题实际意义的x,y的值有哪些?把它们填入表中
x | |||||||||||||||||||||||
y |
问题2：二元一次方程的解
结合问题1中的表格信息，类比一元一次方程解的意义归纳出二元一次方程的解的意义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
同时指出：
(1)一元一次方程只有一个解，而二元一次方程有无限多解（本题中需要考虑x,y的实际意义），其中一个未知数（x或y）每取一个值，另一个未知数（x或y）就有惟一的值与它相对应． x=a
(2) 二元一次方程的每一个解是一对数值，记为 y=b
（教学说明：用填表的方式学生容易找到x,y的值，然后结合表格数据得出二元一次方程解的意义，并进一步体会二元一次方程解的不唯一性）
3.二元一次方程组
（设计说明：利用两个问题进一步熟悉如何列二元一次方程，如何找二元一次方程的解，同时为下面探究方程组的解做好准备，在此基础上利用问题3学习二元一次方程组的意义，学生很容易理解）
问题1:：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分,负一场得1. 已知甲队在一次比赛中共得40分，若用x,y分别表示甲队在全部比赛中的胜负场数,可以得出怎样的方程?
2x＋y=40
问题2: 请将方程2x＋y=40的解填入表格中
x | |||||||||||||||||||||
y |
问题3：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少?
思考：（1）设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把题目中的相等关系表示出来吗?
x＋y=22 2x＋y=40
（2）在上面的方程x＋y=22和2x＋y=40中,x的含义相同吗?y呢?
x,y的含义分别相同.因而x,y必须同时满足方程x＋y=22和2x＋y=40.把它们联立起来,得:
x＋y=22
2x＋y=40
像这样，把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
说明：方程组各方程中，同一字母必须代表同一数量，才能合在一起
练习 已知x、y都是未知数，判别下列方程组是否为二元一次方程组?
①
②
③④
解析：①④是二元一次方程组，②中第一个方程是二元二次方程，③中的两个方程共含有3个未知数，所以②③不是二元一次方程组
（教学说明：学生独立思考列出方程，找出方程的解，结合实际问题逐步体会二元一次方程组的概念，做练习时不仅要得出结论还要说明理由，借此进一步加深对概念的理解）
4.二元一次方程组的解
（设计说明：结合实例体会二元一次方程组解的意义的，表示方法）
问题1: 请找出同时满足方程x＋y=22与2x＋y=40的x,y的值.
指导学生利用前面的表格找出x,y的值，并进一步说明这一组数值就是方程组的解
问题2：二元一次方程组的解
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解
|
x－y＝6 |
练习： 方程组 的解是 （ ）
x＝－6 x＝10 x＝10
y＝－9 y＝－6 y＝－1
（教学说明：利用前面的两个表格，学生能很快解决问题，此时教师进一步引导学生得出二元一次方程组的解的定义并归纳找方程组解的步骤，做练习时要让学生说明自己的具体做法，比较得出那种做法更好）
三、巩固训练 熟练技能
（设计说明：通过形式不同的练习，从不同的角度帮助学生进一步加深对相关观念的理解，形成初步技能。）
1. 若方程有一解
则
的值等于（ ）
Ａ．
Ｂ．
C． Ｄ．
答案：Ｄ
2. （2007湖南株州）二元一次方程组
的解是：（ ）
A.
B.
C. D.
答案：A
3. （1）方程（a＋2）x ＋(b-1)y = 3是二元一次方程，试求a、b的取值范围.
(2)若方程x2 m–1＋ 5y3n – 2= 7是二元一次方程.求m、n的值
答案：（1）a≠-2,b≠1 (2)m＝1,n＝1
4. 买
支铅笔和5本练习本，其中铅笔每支x元，练习本每本y元，共需用4.9元．①列出关于x,y的二元一次方程为_____；②若再买同样的铅笔
支和同样的练习本
本，价钱是2.2元，列出关于x,y的二元一次方程为_____；③若铅笔每支元，则练习本每本_____元
答案：①12x＋5y=4.9 ②6x＋2y=2.2 ③0.5
5. 列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.
（1）香蕉的售价为5元／千克，苹果的售价为3元／千克，小华共买了香蕉和苹果9千克，付款33元，香蕉和苹果各买了多少千克?
解：设香蕉买了x千克，苹果买了y千克，根据题意得
x＋y=9 x=3
5x＋3y=33 解得 y=6
答：香蕉买了3千克，苹果买了6千克
（2）教材94页练习
四、反思总结 情意发展
（设计说明：围绕三个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）
问题1：本节课你学习了什么?
问题2：本节课你有哪些收获?
问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是什么?
（教学说明：通过对三个问题的思考引导学生回顾自己的学习历程，梳理主要知识、方法，构建知识体系）
五、课堂小结
1.本课主要内容：二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解
2. 主要学习方法：类比法 类比一元一次方程的知识学习二元一次方程的有关概念，在与二元一次方程解的比较中理解二元一次方程组的解的意义.
3.学习本课需要注意的几个问题
（1）二元一次方程必须同时符合三个条件
:①这个方程中有且只有两个未知数;
②含求知数项的次数是1；
③对未知数来说，构成方程的代数式是整式。
（2）与一元一次方程相比，二元一次方程的解是成对出现的且有无数个解.
六、布置作业
1、必做题：课本95页习题8.1中的1、2、3；
2.选做题：习题8.1 中的4，5题
（教学说明：及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，练习题主要训练找方程（组）的解，分析数量关系列二元一次方程组）
七、拓展练习
1.方程x∣a∣ – 1＋(a-2)y = 2是二元一次方程，试求a的值
答案：a=-2
2.求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解
答案： x=1 x=3 x=5
y=8 y=5 y=2
3. （2007广州）以
为解的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C．
D．
答案：C
4 .（2007山东淄博）若方程组
的解是 则方程组
的解是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：A
5. 甲乙两个牧羊人放牧归来，甲说：“把你的羊给我3只，那么我的羊就是你的羊的2倍了.”乙说：“不，还是把你的羊分3只给我，那么我们的羊就一样多了.”你知道他们原来各有几只羊?
答案：设甲原来有x只羊，乙原来有y只羊，根据题意得
x＋3=2(y-3) x=21
x-3=y＋3 解得 y=15
答：甲原来有21只羊，乙原来有15只羊
（设计说明：利用上述题目，一方面提高利用概念分析解答问题的能力，同时进一步体会涉及多个未知量的问题是广泛存在的，体会学习二元一次方程组的必要性，激发学生探究二元一次方程组解法的积极性）
【评价与反思】
1.概念课教学模式：本节课的主要内容是二元一次方程（组）的有关概念，设计时按照“实例研究，初步体会----比较分析，把握实质----归纳概括，形成定义-----应用提高，发展能力”的思路进行，让学生体会到是因为“需要”而学习新知识，逐步渗透应用意识.
2.类比法的运用：二元一次方程及其解的意义类比一元一次方程进行学习，一方面加深学生对方程中“元”与“次”的理解，另一方面易于理清一元一次方程与二元一次方程“解”的相关知识的异同，同时为二元一次方程组相关概念的学习扫清障碍。
3.分层递进，循环上升：学生对知识的理解，教师对学生的要求，都是由低到高，逐步提升。题目设计从单一知识点的直接运用，逐渐到多个知识点的灵活运用，给学生设置必要的台阶，使其一步步向前，最终达到教学目标。
设计者：任秀英
设计方案二
【教学方法】
本节课采取“动（探究）——看（观察）——议（交流）——讲（点拨）”结合法，并且问题贯穿教学活动过程，合作探究共同解决问题。
【教学活动过程】
一．创设情景，导入新课
（设计说明：由学生熟悉的问题引入，能激发学生的学习兴趣，提高学习的积极性，同时，也为本节课的引入作好铺垫）
问题1：教师规定学生座位中的行和列，让学生自己座位所在的行、列。
问题2：请列与行的和为6的同学站起来?
师板书：列＋行=6
问题3：请列与行的差为2的同学站起来?
师板书：列-行=2
问题4：如果用x表示列，用y表示行，上述式子怎样表示呢?
师板书：x＋y=6
x-y=2
问题5：请观察两个方程的共同特点，给他们起一个名字。
学生：二元一次方程，这就是我们学习的内容，由此导入新课。
（教学说明：设计学生熟悉的座位中的行和列作为问题情景，让学生由生活中的问题抽象出二元一次方程，使学生感到数学就在身边，同时为本节课的学习做了铺垫）
二．探索新知：
1．二元一次方程和二元一次方程解的概念的探索：
（设计说明：让学生经历命名、举例和下定义的过程，深层次体会二元一次方程和二元一次方程解的概念）
问题1：你能举几个二元一次方程的例子吗?
问题2：什么叫二元一次方程呢?
学生回答：含有两个未知数，且未知项次数是1的方程，叫做二元一次方程
问题3：你能找到满足x＋y=6的未知数x、y的值吗?填表：
x | |||||||
y |
学生填表，并从中总结二元一次方程的解的概念。
学生：满足二元一次方程左、右两边相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
问题4：二元一次方程与一元一次方程有什么区别?
（教学说明：先让学生命名、举例、总结概念的过程，通过填表、观察、类比、讨论、归纳体会二元一次方程的解的概念，让学生体会到二元一次方程的解有无数个）
2．二元一次方程组的解概念的探索：
（设计说明：让学生经历二元一次方程组的解的探索过程）
问题1：发动全班同学寻找同时满足列与行和为6 （x＋y=6），列与行的差为2（y-x=2）的同学。
顺势引导，得出二元一次方程组的概念。
问题2：（1）你能给它取个名字吗?
（2）什么叫二元一次方程组?
学生定义：由两个二元一次方程方程组成的方程组叫二元一次方程组。
问题3：（1）请其他同学验证自己的坐标是否同时满足两个方程。
|
请画图表示上述方程的解与①②的解的关系。
由此得到二元一次方程组的解的概念
学生：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
（教学说明：先从学生熟悉的列和行入手，寻找符合x＋y=6和y-x=2的学生，从而体会二元一次方程组（解）的意义，深层次体会二元一次方程组的解就是两个方程的公共解的含义。
三、典例分析，深化应用
（设计说明：通过典型例题，深刻体会概念的含义）
例1： x＋y=9 ①
x-y=5 ②
判断下列各对数值中, 不是①的解? 不是②的解? 是③的解?
x=4 x=1 x=6 x=0
y=-1 y=8 y=1 y=9
例2： x＋y=15
2x＋y=20的解是
A．x=5
B. y=10
C. x=5或y=10
D. x=7
y=8
（教学说明：从正面的角度，从解的意义和形式两方面强化对方程组的解的理解）
四 、巩固训练 熟练技能
（设计说明：通过形式不同的练习，从不同的角度帮助学生进一步加深角的认识，形成初步技能。）
1.把面值为10元的人民币换成1元或 5元人民币有 种换法。
2.写出一个以 X=5 为解的方程组
y=4
3.某篮球赛中，胜一场得3分，负一场得1分。咱们班共胜x场,负y场（无平局）.共得 20分。且胜场数是负场数的2倍。你能算出胜负场数各是多少吗?(列出方程组)
（教学说明：第1题换零钱：引导学生运用尝试枚举法求二元一次方程整数解，培养思维全面性。第2题中设计了编题这一环节，对学生深刻理解知识并灵活运用提出了更高的要求。学生也在编题的过程中体验到成就感。第3题从生活出发，通过找相等关系列方程组加强用数学的能力，学生又一次体验了二元方程组的优越性，同时为下一节“二元一次方程组的解法”做好铺垫。）
五、反思总结 情意发展
（设计说明：围绕一个问题，师生以谈话交流的形式，共同总结本节课的学习收获。）
问题：本节课你学习了什么?你有哪些收获?
（教学说明：以上设计再次通过对这个问题的思考引导学生回顾自己的学习过程，畅所欲言，加强反思、提炼及知识的归纳，纳入自己的知识结构）
六、课堂小结
1．本节主要学习二元一次方程、二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念。
2．主要用到的思想方法是符号化思想。
3．注意的问题:
（１）二元一次方程组的解是指这两个方程的公共解，二元一次方程组的解一般是一个，也有可能是无数个或无解。
（２）二元一次方程解和二元一次方程组的解注意它的写法。
七、布置作业
1、课本95页练习1、2、3；
（教学说明：及时作业是巩固课堂学习知识的重要环节，练习题主要训练度、分、秒的换算问题）
八、拓展练习
1．当x=1,y=2是二元一次方程mx-3y=1的解时，求m的值?
2．一列长300米的火车以15千米/小时的速度通过一座长1200米的大桥，求这列火车完全通过大桥所用的时间?
【评价与反思】
本节内容是七年级数学下册第八章的第一节，本节主要学习二元一次方程、二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念是典型的概念教学课。
从学生熟悉的座位排列问题出发，我设计了根据条件寻找学生位置的活动。通过亲自尝试使学生体验知识的发生过程，可以提高学生在教学活动中的参与程度，激发其内趋力。
从本节内容看，改变了教材中知识生成的方式，这样的设计使得活动贯穿始终，从二元一次方程---方程的解----方程组----方程组的解，不断激发已知与新知的矛盾冲突，前后知识的呈现清晰自然、浑然一体；同时，从生活中的实际问题出发，后又回归到数学研究中，充分体现了数学应用中的建模的思想。
从知识体系讲，为后续学习的一次函数及图像、图像法解二元一次方程组埋下伏笔。
中考 高考名著
常用成语