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两圆的公切线教案

第一课时 两圆的公切线(一)

教学目标:

(1)理解两圆相切长等有关概念,掌握两圆外公切线长的求法;

(2)培养学生的归纳、总结能力;

(3)通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想.

教学重点:

理解两圆相切长等有关概念,两圆外公切线的求法.

教学难点:

两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透,容易混淆.

教学活动设计

(一)实际问题(引入)

很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系,给我们以一条直线和两个同时相切的形象.(这里是一种简单的数学建模,了解数学产生与实践)

(二)两圆的公切线概念

1、概念:

教师引导学生自学.给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义:

和两圆都相切的直线,叫做两圆的公切线.

(1)外公切线:两个圆在公切线的同旁时,这样的公切线叫做外公切线.

(2)内公切线:两个圆在公切线的两旁时,这样的公切线叫做内公切线.

(3)公切线的长:公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.

2、理解概念:

(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?

(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?

(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方,即都是线段的长.但公切线的长是对两个圆来说的,且这条线段是以两切点为端点;切线长是对一个圆来说的,且这条线段的一个端点是切点,另一个端点是圆外一点.

(2)公切线是直线,而公切线的长是两切点问线段的长,前者不能度量,后者可以度量.

(三)两圆的位置与公切线条数的关系

组织学生观察、概念、概括,培养学生的学习能力.添写教材p143练习第2题表.

(四)应用、反思、总结

1已知:⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm,圆心距O1O2=13cm,AB是⊙O1、⊙O2的外公切线,切点分别是A、B.求:公切线的长AB.

分析:首先想到切线性质,故连结O1A、O2B,得直角梯形AO1O2B.一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形,再用其性质.(组织学生分析,教师点拨,规范步骤)

解:连结O1A、O2B,作O1A⊥AB,O2B⊥AB.

过 O1作O1C⊥O2B,垂足为C,则四边形O1ABC为矩形,

于是有

O1C⊥C O2,O1C= AB,O1A=CB.

在Rt△O2CO1和.

O1O2=13,O2C= O2B- O1A=5

AB= O1C=(cm).

反思:(1)“转化”思想,构造三角形;(2)初步掌握添加辅助线的方法.

2*如图,已知⊙O1、⊙O2外切于p,直线AB为两圆的公切线,A、B为切点,若pA=8cm,pB=6cm,求切线AB的长.

分析:因为线段AB是△ApB的一条边,在△ApB中,已知pA和pB的长,只需先证明△pAB是直角三角形,然后再根据勾股定理,使问题得解.证△pAB是直角三角形,只需证△ApB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°),这就需要沟通角的关系,故过p作两圆的公切线CD如图,因为AB是两圆的公切线,所以∠CpB=∠ABp,∠CpA=∠BAp.因为∠BAp+∠CpA+∠CpB+∠ABp=180°,所以2∠CpA+2∠CpB=180°,所以∠CpA+∠CpB=90°,即∠ApB=90°,故△ApB是直角三角形,此题得解.

解:过点p作两圆的公切线CD

∵ AB是⊙O1和⊙O2的切线,A、B为切点

∴∠CpA=∠BAp ∠CpB=∠ABp

又∵∠BAp+∠CpA+∠CpB+∠ABp=180°

∴ 2∠CpA+2∠CpB=180°

∴∠CpA+∠CpB=90° 即∠ApB=90°

在 Rt△ApB中,AB2=Ap2+Bp2

说明:两圆相切时,常过切点作两圆的公切线,沟通两圆中的角的关系.

(五)巩固练习

1、当两圆外离时,外公切线、圆心距、两半径之差一定组成( )

(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等边三角形 (D)以上答案都不对.

此题考察外公切线与外公切线长之间的差别,答案(D)

2、外公切线是指

(A)和两圆都祖切的直线 (B)两切点间的距离

(C)两圆在公切线两旁时的公切线 (D)两圆在公切线同旁时的公切线

直接运用外公切线的定义判断.答案:(D)

3、教材p141练习(略)

(六)小结(组织学生进行)

知识:两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念;

能力:归纳、概括能力和求外公切线长的能力;

思想:“转化”思想.

(七)作业:p151习题10,11.

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