一元一次方程的应用（求两位数问题）1

一、目的要求

1．使学生了解在列出一元一次方程解应用题的过程中，有时设间接未知数可以使得寻找相等关系和列出方程都比较方便，从而进一步培养学生的思维能力。

2．使学生能分析求两位数问题中的已知数与未知数的相等关系，列出一元一次方程解简单的应用题。

二、内容分析

求两位数问题，往往用算术方法（直接通过观察、分析和简单计算）更为方便。就以教科书第229页上的例8来说，学生可以根据“十位上的数比个位上的数小1”，于是取12，23，34，45，56，67，78，89这8个数来进行试验，看哪一个数符合另一条件“十位与个位上的数的和是这个两位数的”。聪明的学生会根据“”。这个分数立即选出45为所求答案。那么为什么在本教科书中选用了这道题作为例题呢?这是因为用代数方法解这道例题时，选用间接未知数比较方便。从数学上来说，“设间接未知数”就是“设辅助变量”；“辅助变量”是“辅助元素”的一种，后者包括辅助变量、辅助项、辅助函数、辅助线（通指直线、射线或线段）、辅助圆等。添加辅助元素的目的在于化未知为已知、化繁为简、化难为易，所以这是一种重要的数学思想方法。

除此以外，例8还有这样一个特点：题中给出两个条件“十位上的数比个位上的数小1”以及“十位与个位上的数的和是这个两位数的”。选择哪一个条件作为相等关系呢?第一个条件虽然简单，但不能表示应用题的全部含义（正如上面所说，这样的两位数有8个）。第二个条件复杂一些，只要记住在这个条件中应包含“十位上的数比个位上的数小1”，那么第二个条件就能表示应用题的全部含义，于是可以用它作为相等关系。这种判断对于学生当然很有意义。至于设十位上的数为x，还是设个位上的数为x，这倒无关紧要。教科书中设十位上的数为x，是为了在方程中选用加号而避开减号（否则两位数将变成10（x-1）＋x，看起来不太协调）。

三、教学过程

复习提问：

今天，我们要学习怎样列出一元一次方程来解决求两位数的问题。

1．翻开教科书，看第231页上练习第3题的三个小题。顺次提出这三个问题。

2．一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为4，3，m，这个三位数是什么?

（430＋m）写成400＋30＋m可以吗?（可以。）写成43m可以吗?（不可以。）为什么?

（43m表示43与m的积，当m=0，1，…，9时，43m不可能等于430＋m．）

3．一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为m，n,2，这个三位数是什么?

（100m＋10n＋2）。写成mn2可以吗?（不可以。）为什么?（mn2应看成m，n与2的积；而且即使这样，也应写作2mn。）那么写成m00＋n0＋2可以吗?（不可以。）为什么?（数学上根本没有这种写法。）

新课讲解：

让学生阅读例8的题目，帮助学生分析题意，然后提问：

1．这道题已知的是什么?

2．一个两位数，十位上的数为x，十位上的数比个位上的数小1，那么这个两位数的十位与个位上的数的和是什么?（x＋（x＋1）。）这个两位数是什么?（10x＋（x＋1）。)这个两位数的是什么?。

3．这道题的相等关系是什么?（把相等关系写在大黑板上。）

4．这道题求的是什么?

让学生阅读教科书第230页上的表格，然后在黑板上书写例8的解题过程。

解完例8后，也可对例8进行一题多解、一题多变和一题多用的练习，方法如下：

1．在解例8时，如果先设个位上的数为x，解法有什么变化?

2．在解例8时，如果设两位数为x，解法有什么变化?（请参看教师教学用书第246页左上角的说明。） 这告诉我们，列方程解应用题时，不一定要“题目问什么，就设什么为x”，如果在例1～例7中，题目问什么，我们就“直接”设什么为x，这样的x可以叫做“直接未知数”，那么在例8中，我们通过“间接”设十位上的数为x，求出x的值后再去求题目所问未知数的值，这样的x可以叫做什么未知数呢?（可以叫做“间接未知数”。）通过例8，我们看到用设间接未知数的方法比较方便。这是间接未知数的作用之一。这种设间接未知数使问题化难为易的方法，我们今后还要常常用到。

3．一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，如果把十位与个位上的数对调，那么所得到的两位数比原两位数大9，求原两位数。

课堂练习：教科书第231页上练习的第4，6题，做完后核对答案。

课堂小结：在这堂课里，我们通过列出一元一次方程来解决求两位数问题。通过这堂课，我们对间接未知数的作用有了一个初步的了解，它是我们从已知通向未知，从复杂通向简单，从困难通向容易的一座桥梁。正因为如此，在选择哪一个未知数作为间接未知数时，要经过认真思考，为此一定要弄清题意，弄清题目中已知数与未知数之间的数量关系。此外，在这堂课里，我们还对多位数各个数位上的数的关系有了进一步的认识。

四、课外作业

教科书习题4．4（2）A组的第16，19题。