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充分条件与必要条件教学设计

教学目标

(1)正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;

(2)能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件;

(3)培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力;

(4)在充要条件的教学中,培养等价转化思想.

教学建议

(一)教材分析

1.知识结构

首先给出推断符号“”,并引出充分条件与必要条件的意义,在此基础上讲述了充要条件的初步知识.

2.重点难点分析

本节的重点与难点是关于充要条件的判断.

(1)充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念,主要用来区分命题的条件和结论之间的因果关系.

(2)在判断条件和结论之间的因果关系中应该:

①首先分清条件是什么,结论是什么;

②然后尝试用条件推结论,再尝试用结论推条件.推理方法可以是直接证法、间接证法(即反证法),也可以举反例说明其不成立;

③最后再指出条件是结论的什么条件.

(3)在讨论条件和条件的关系时,要注意:

①若,但,则的充分但不必要条件;

②若,但,则的必要但不充分条件;

③若,且,则的充要条件;

④若,且,则的充要条件;

⑤若,且,则的既不充分也不必要条件.

(4)若条件以集合的形式出现,结论以集合的形式出现,则借助集合知识,有助于充要条件的理解和判断.

①若,则的充分条件;

显然,要使元素,只需就够了.类似地还有:

②若,则的必要条件;

③若,则的充要条件;

④若,且,则的既不必要也不充分条件.

(5)要证明命题的条件是充要条件,就既要证明原命题成立,又要证明它的逆命题成立.证明原命题即证明条件的充分性,证明逆命题即证明条件的必要性.由于原命题逆否命题,逆命题否命题,当我们证明某一命题有困难时,可以证明该命题的逆否命题成立,从而得出原命题成立.

(二)教法建议

1.学习充分条件、必要条件和充要条件知识,要注意与前面有关逻辑初步知识内容相联系.充要条件中的与四种命题中的要求是一样的.它们可以是简单命题,也可以是不能判断真假的语句,也可以是含有逻辑联结词或“若”形式的复合命题.

2.由于这节课概念性、理论性较强,一般的教学使学生感到枯燥乏味,为此,激发学生的学习兴趣是关键.教学中始终要注意以学生为主,让学生在自我思考、相互交流中去结概念“下定义”,去体会概念的本质属性.

3.由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关,为此,教学时可以从判断命题的真假入手,来分析命题的条件对于结论来说,是否充分,从而引入“充分条件”的概念,进而引入“必要条件”的概念.

4.教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明,为了让学生能理解定义的合理性,在教学过程中,教师可以从一些熟悉的命题的条件与结论之间的关系来认识“充分条件”的概念,从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念.

教学设计示例

充要条件

教学目标:

(1)正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念;

(2)能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件;

(3)培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力;

(4)在充要条件的教学中,培养等价转化思想.

教学重点难点:关于充要条件的判断

教学用具:幻灯机或实物投影仪

教学过程设计

1.复习引入

练习:判断下列命题是真命题还是假命题(用幻灯投影):

(1)若,则

(2)若,则

(3)全等三角形的面积相等;

(4)对角线互相垂直的四边形是菱形;

(5)若,则

(6)若方程有两个不等的实数解,则

(学生口答,教师板书.)

(1)、(3)、(6)是真命题,(2)、(4)、(5)是假命题.

置疑:对于命题“若,则”,有时是真命题,有时是假命题.如何判断其真假的?

答:看能不能推出,如果能推出,则原命题是真命题,否则就是假命题.

对于命题“若,则”,如果由经过推理能推出,也就是说,如果成立,那么一定成立.换句话说,只要有条件就能充分地保证结论的成立,这时我们称条件成立的充分条件,记作

2.讲授新课

(板书充分条件的定义.)

一般地,如果已知,那么我们就说成立的充分条件.

提问:请用充分条件来叙述上述(1)、(3)、(6)的条件与结论之间的关系.

(学生口答)

(1)“,”是“”成立的充分条件;

(2)“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件;

(3)“方程的有两个不等的实数解”是“”成立的充分条件.

从另一个角度看,如果成立,那么其逆否命题也成立,即如果没有,也就没有,亦即成立的必须要有的条件,也就是必要条件.

(板书必要条件的定义.)

提出问题:用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题.

(学生口答).

(1)因为,所以的充分条件,的必要条件;

(2)因为,所以的必要条件,的充分条件;

(3)因为“两三角形全等”“两三角形面积相等”,所以“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件,“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件;

(4)因为“四边形的对角线互相垂直”“四边形是菱形”,所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件,“四边形是菱形”是“四边形的对角线互相垂直”的充分条件;

(5)因为,所以的必要条件,的充分条件;

(6)因为“方程的有两个不等的实根””,而且“方程的有两个不等的实根””,所以“方程的有两个不等的实根”是“”充分条件,而且是必要条件.

总结:如果的充分条件,又是的必要条件,则称的充分必要条件,简称充要条件,记作

(板书充要条件的定义.)

3.巩固新课

例1 (用投影仪投影.)

B

AB的什么条件

B的什么条件

*是有理数

是实数

是奇数

是偶数

是4的倍数

是6的倍数

(学生活动,教师引导学生作出下面回答.)

①因为有理数一定是实数,但实数不一定是有理数,所以的充分非必要条件,的必要非充分条件;

一定能推出,而不一定推出,所以的充分非必要条件,的必要非充分条件;

是奇数,那么一定是偶数;是偶数,不一定都是奇数(可能都为偶数),所以的充分非必要条件,的必要非充分条件;

表示,所以成立的必要非充分条件;

⑤由交集的定义可知成立的充要条件;

⑥由,所以成立的充分非必要条件;

⑦由,所以成立的必要非充分条件;

⑧易知“是4的倍数”是“是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件;

(通过对上述问题的交流、思辩,在争论中得到了正确答案,并加深了对充分条件、必要条件的认识.)

例2 已知的充要条件,的必要条件同时又是的充分条件,试的关系.(投影)

解:由已知得

所以的充分条件,或的必要条件.

4.小结回授

今天我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念,并学会了判断条件AB的什么条件,这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础.

课内练习:课本(人教版,试验修订本,第一册(上))第 35页练习l、2;第36页练习l、2.

(通过练习,检查学生掌握情况,有针对性的进行讲评.)

5.课外作业:教材第36页 习题1.8 1、2、3.

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