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从椭圆的标准方程推导中所发现到的 人教选修1

从椭圆的标准方程推导中所发现到的

□ 山东高密康成中学 李煜钟

在“椭圆的标准方程”一节中,教材提供了椭圆的定义、椭圆的标准方程及其推导.其中,坐标系的建立、方程的化简,为我们今后学习双曲线、抛物线及一些轨迹方程的探求提供了借鉴.

当然,如果我们对椭圆标准方程的推导细细观察,会发现一个令人振奋的结论:椭圆上的点到焦点的距离公式——焦半径公式!

为行文方便,这里抄录部分教材中的推导过程.

如图,坐标系的建立与教材相同,设px,y)是椭圆C上任意一点.根据椭圆的定义:

p点到两定点F1、F2(|F1F2|=2c)距离之和是常数(2a)(ac), 因此|pF1|+|pF2|=2a

移项,得

两边平方,整理,得4a

注意到|pF1|=所以,有|pF1|=

这样,我们就非常轻松地得到了椭圆的焦半径公式,解决了令人困惑的问题:椭圆上哪个点距焦点最近,哪个点距焦点最远,从而使有关例题、练习题、习题的解决有了理论上的根据,也改变了“没有学习椭圆的第二定义,不知焦半径公式”的被动局面.

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