错用抛物线定义一例 人教选修

例：定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=4x上运动，AB的中点为M，求M到y轴的最短距离.

错解：如图，设抛物线的焦点为F，准线为l，作AA1，BB1，MM1分别垂直于l，交点为A1、B1、M1，设M（x0,y0）,MM1交y轴于N.

∴

由平面几何知识及抛物线的定义可知：

辨析：上面解法利用了抛物线的定义及平面几何的知识，构思巧妙，并且可以看出，即当AB过焦点F时，M到y轴的距离最短，那么，AB是否一定能过焦点F呢？这需要看一下过焦点的弦长的最小值.由焦点弦长公式

≥4

而|AB|=3，故AB不能过焦点，以上解法是错误的.

一般地：设抛物线y²=2px，定长为d的线段AB的两端点在抛物线上运动，求AB中点M到y轴的最短距离.

则有：若|AB|≥2p，则当AB过焦点F时，M到y轴的距离最短，最小值为若|AB|＜2p，则当AB与x轴垂直时，M到y轴的距离最短，最小值为请读者自证