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错用抛物线定义一例 人教选修

例:定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=4x上运动,AB的中点为M,求My轴的最短距离.

错解:如图,设抛物线的焦点为F,准线为l,作AA1,BB1,MM1分别垂直于l,交点为A1、B1、M1,设Mx0,y0),MM1交y轴于N.

由平面几何知识及抛物线的定义可知:

辨析:上面解法利用了抛物线的定义及平面几何的知识,构思巧妙,并且可以看出,即当AB过焦点F时,My轴的距离最短,那么,AB是否一定能过焦点F呢?这需要看一下过焦点的弦长的最小值.由焦点弦长公式

≥4

而|AB|=3,故AB不能过焦点,以上解法是错误的.

一般地:设抛物线y2=2px,定长为d的线段AB的两端点在抛物线上运动,求AB中点My轴的最短距离.

则有:若|AB|≥2p,则当AB过焦点F时,My轴的距离最短,最小值为若|AB|<2p,则当ABx轴垂直时,My轴的距离最短,最小值为请读者自证

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