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导数的概念 人教选修

教材:不等式证明五(放缩法、反证法)

目的:要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。

过程:

一、简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法

提出课题:放缩法与反证法

二、放缩法:

例一、若a,b,c,d?R+,求证:

证:记m=?

a,b,c,dR

∴1< m< 2 即原式成立

例二、当n>2 时,求证:

证:∵n>2 ∴

n>2时,

例三、求证:

证:

三、反证法:

例四、设0<a,b,c< 1,求证:(1 -a)b, (1 -b)c, (1 -c)a,不可能同时大于

证:设(1 -a)b>, (1 -b)c>, (1 -c)a>,

则三式相乘:ab< (1 -a)b(1 -b)c(1 -c)a<

又∵0<a,b,c< 1 ∴

同理:,

以上三式相乘: (1 -a)a(1 -b)b(1 -c)c与①矛盾

∴原式成立

例五、已知abc>0,abbcca>0,abc>0,求证:a,b,c>0

证:设a< 0, ∵abc>0, ∴bc< 0

又由abc>0, 则bc= -a>0

abbcca=a(bc) +bc< 0 与题设矛盾

又:若a= 0,则与abc>0矛盾, ∴必有a>0

同理可证:b>0,c>0

四、作业:证明下列不等式:

1.x>0,y>0,,,求证:a<b

放缩法:

2.lg9lg11< 1

3.

4.a>b>c, 则

5.

左边

6.

7.已知a,b,c>0, 且a2b2=c2,求证:anbn<cn(n≥3,nR*)

,又a,b,c>0, ∴

8.设0<a,b,c< 2,求证:(2 -a)c, (2 -b)a, (2 -c)b,不可能同时大于1

仿例四

9.x,y>0,且xy>2,则中至少有一个小于2

反设≥2,≥2 ∵x,y>0,可得xy≤2 与xy>2矛盾

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