多角度观察题设条件打开解题思路 人教选修

在具体解题时，要学会从多角度观察、分析、使用题设条件，才能够打开解题思路，找到较简洁的解法。

题目1 已知函数f(x)=ax²＋bx＋c的图象过点（-1,0），是否存在常数a、b、c，使不等式 x≤f(x)≤(1＋x²) 对一切实数x都成立？

分析：这是一道探索性题目，要充分利用题目的条件，找出a、b、c的关系，再利用不等式恒成立的条件得出结论。本题从两个不同的角度观察、分析、使用题设条件，提供了两种不同的解法。

解法一：∵函数f(x)=ax²＋bx＋c的图象(抛物线)过点（-1,0），

∴ a-b＋c=0 (1)

又∵ x≤f(x)≤(1＋x²) 对一切实数x都成立，则令x=0，有0≤c≤；

令x=1，有1≤a＋b＋c≤1，

∴ a＋b＋c=1 (2)

由(1)(2)解出 b=，c=-a

∴ 0≤-a≤

∴ 0≤a≤

将b=，c=-a代入x≤f(x)≤(1＋x²)，则得不等式组

的解集为R.

当a=0或时，上述不等式组不能对一切实数x都成立.

∴ 0

由得(4a-1)²≤0

∴ a=，c=.

综上可知，存在a=c=，b=，使不等式

x≤f(x)≤(1＋x²)

对一切实数x都成立。

解法二：∵x≤f(x)≤(1＋x²) 对一切实数x都成立

∴f(x)的图象必夹在g(x)=x与h(x)=(1＋x²)的图象之间.

如图所示，易知g(x)与h(x)的图象相切于点p(1,1)，因此f(x)与h(x)的图象也必相切于点p(1,1)，从而有方程组

仅有一组解

也就是一元二次方程f(x)-x=0有两个相等的根x₁=x₂=1，所以有f(x)-x=a(x-1)²

即 f(x)= a(x-1)²＋x

又∵f(-1)=0 ∴ a=

从而有 f(x)=x²＋x＋

综上可知，存在a=c=，b=，使不等式x≤f(x)≤(1＋x²)

对一切实数x都成立。

练习1 已知函数f(x)=ax²＋bx＋c，(a、b、c∈Z)同时满足：(1)方程f(x)=0在(-2,0)内有两个不同的实数根；(2)对于任意实数x∈R恒有不等式4x＋2≤f(x)≤8x²＋12x＋4成立。求a,b,c的值。

(答案a=4,b=8,c=3)

题目2 已知函数，求它的最大值和最小值。

分析：本题是关于三角函数的分式函数问题，一般有两种观察方法，一种是将函数式转化为形如方程式asinx＋bcosx=c，根据不等式解出 的取值范围（仅适用自变量x无限制范围的情况）; 另一种是把函数式看作平面内动点p(cosx,sinx)与定点A(2,2)所在直线的斜率Kap.

解法一：由得：sinx＋ycosx=2-2y

即 sin(x＋θ)=. 故应≤1

解得≤y≤

∴ y_max=；

y_min=

解法二：令A(2,2)、p(cosx,sinx)，则y=Kap.

如图二所示，因为点p是单位圆上动点，只须求共点直线系Ap: y=k(x-2)＋2的斜率的最值，显然，最值在直线和单位圆相切时取得，由，得

k₁=，k₂=

∴ y_max=；

y_min=

如果改函数的定义域为x∈[0,π]，由图三易知

y_max=2；y_min=

练习2 求函数 (0

（答案：y_min=）

题目3 设a>0，解关于x的不等式.

分析：本题是关于解含有参数的根式不等式的问题，一般先转化为有理式不等式组，然后再对参数分类讨论求解。有时把这样的不等式转化为一个确定的函数与一个函数系，观察它们的图象之间的关系，就可以直观的解题。

解法一 ：原不等式同解于

或

即(Ⅰ) 或（Ⅱ）

当01

∴原不等式的解集为{x│x>a＋1-}.

(2) 当a>2时，解(Ⅰ)得x∈φ，解（Ⅱ）得

∴原不等式的解集为{x│}.

解法二：令函数系y=()

和函数y=1-x，在同一个坐标系下作出它们的图象（图四）和（图五）。容易看出：

（1）当0<≤1时，即0

令=1-x解得x0= a＋1-，

∴原不等式的解集为

{x│x>a＋1-}.

(2) 当>1时，即a>2由图五知

原不等式的解集为{x│}.

练习3 设a>0，解关于x的不等式.

(答案：{x│0