反证法 (四) 人教选修

教材：反证法

目的：要求学生初步学会反证法的步骤，并能用以证明一些命题。

过程：

一、提出问题：初中平几中有一个命题：

“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”。

二、如何证明：

1，（教师给出如下方法）

证：先假设可以作一个⊙O过A、B、C三点，

则O在AB的中垂线l上，O又在BC的中垂线m上，

即O是l与m的交点。

但∵A、B、C共线，∴l∥m(矛盾)

∴过在同一直线上的三点A、B、C不能作图。

2．指出这种证明方法是“反证法”。

定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法。

即：欲证p则q，证：p且非q（反证法）

3，反证法的步骤：1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。

2）从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾。

3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

4，反证法：1）反设（即假设）p则q（原命题） 反设p且非q。

2）可能出现三种情况：

①导出非p为真——与题设矛盾。

②导出q为真——与反设中“非q“矛盾。

③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾。

三、例一（p32例3） 用反证法证明：如果a>b>0，那么。

证一（直接证法），

∵a>b>0,∴a-b>0,∴

∴

证二（反证法）假设不大于，则

∵a>0,b>0,∴① 或②

由①、②（传递性）知： 即a<b（与题设矛盾）

同样，若（与题设矛盾）

∴．

例二、（p32--33例4）用反证法证明圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。

证明：反设AB、CD被p平分

∵p不是圆心，连结Op

则由垂径定理：

Op^AB，Op^CD

则过p有两条直线与Op垂直（矛盾）

∴弦AB，CD不被p平分

例三、用反证法证明：不是有理数。

证：假设是有理数，则不妨设（m,n为互质正整数）

从而：，，可见m是偶数。

设m=2p（p是正整数），则，可见n是偶数。

这样，m.,n就不是互质的正整数（矛盾）。∴不可能

∴不是有理数。

四、小结：反证法定义、步骤、注意点

五、作业：p33练习p34习题1．7 5 及《课课练》p33例二。