分析法 人教选修

第八教时

教材：不等式证明三（分析法）

目的：要求学生学会用分析法证明不等式。

过程：

一. 介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。

二.例子

例一、求证：

证： ∵

综合法：

只需证明：∵21< 25

展开得：∴

即：∴

∴∴

即： 21< 25（显然成立） ∴

∴∴

例二、设x>0，y>0，证明不等式：

证一：（分析法）所证不等式即：

即：

即：

只需证：

∵成立

∴

证二：（综合法）∵

∵x>0，y>0， ∴

例三、已知：a＋b＋c= 0，求证：ab＋bc＋ca≤ 0

证一：（综合法）∵a＋b＋c= 0 ∴(a＋b＋c)2 = 0

展开得：

∴ab＋bc＋ca≤ 0

证二：（分析法）要证ab＋bc＋ca≤ 0 ∵a＋b＋c= 0

故只需证ab＋bc＋ca≤ (a＋b＋c)2

即证：

即：（显然）

∴原式成立

证三：∵a＋b＋c= 0 ∴-c=a＋b

∴ab＋bc＋ca=ab＋ (a＋b)c=ab- (a＋b)2 = -a2 -b2 -ab

=

例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

证：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，

周长为l的正方形边长为，截面积为

问题只需证：>

即证：>

两边同乘，得：

因此只需证：4>p （显然成立）

∴>也可用比较法（取商）证，也不困难。

三.作业： p18 练习 1—3 及 习题6.3 余下部分

补充作业：

1.已知0< q< p，证明：

略证：只需证：∵0< q< p ∴sinq>0

故只需证：

即证：∵1 ＋ cosq>0

只需证：

即只需证：

即：（成立）

2.已知a>b>0，q为锐角，求证：

略证：只需证：

即：（成立）

3.设a,b,c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：