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空间角及其求法 人教选修

专题讲座

空间角及其求法

一.地位分析

(1)教材地位分析

立体几何板块主要有两大类型(1)判断、推理型 (2)有关的几何量的计算,其中包括空间角、空间距离、体积的计算。

空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分,是立体几何板块的一个重点,也是难点。

(2)高考地位分析

在历届高考中,空间角及其求法是每年必考的内容,分值约 4-15分,属于中等难度。

备注:高考中,立体几何板块往往有4个题目:2个选择题,一个填空题和1个大题。在大题中,一般是论证题和空间角(距离)计算组成。在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。

二.高考要求

理解空间角的概念,会求空间角。

三.表解空间角

异面直线所成角

直线与平面所成

二 面 角

在空间任取一点o,分

别作a,b的平行线,

从而形成的的锐(角)

叫作异面直线所成角。

斜线与它在平面

内的射影所成的

锐角。

从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

异面直线a、b所成角

线a与平面所成角

平移、妙选顶点

找射影、二足相连

用什么度量?

附:二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面上分别引垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

二面角的平面角必须满足:(1)角的顶点在棱上。(2)角的两边分别在两个面内。(3)角的边都要垂直于二面角的棱。

四.用定义求空间角的步骤

1.作出所求的空间角<定位>

2.证明所作的角符合定义<定性>

3.构造三角形并求出所要求角<定量>

简言之,空间角的求解步骤为: “一作”、 “二证”、 “三算”

五.典例分析

例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1, M、N分别是棱A1B1和BB1的中点,求直线AM和CN所成角。

解析:

途径一 过D1作D1E//AM,作D1F//CN,连接EF,显然为异面直线AM与CN所成角。通过解△D1EF即可。

途径二 过D作D1E//AM,再过N作NG//D1E,显然为异面直线AM与CN所成角。通过解△NGC即可。

方法提炼1 求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。常选中点或线端点,利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。

例2.如图棱长是1的正方体,p、Q分别是棱AB、CC1上的内分点,满足.

(1)求证:A1p⊥平面AQD;

(2)求直线pQ与平面AQD所成角的正弦值.

解析:过Q作QR平行AD,交BB1与R,连接AR,

易知面ADQR即为面AQD由(1)知A1p ⊥面AQD,

设A1p交AR与S,连接SQ即可。由以上的作法可知

为所求角,只需解三角形SpQ即可。

方法提炼2.求直线和平面所成角要领 “找射影,二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条,所以关键在于寻该斜线在面上的射影。

例3. 在四棱锥p-ABCD中,已知ABCD为矩形,pA ⊥平面ABCD,设pA=AB=a,BC=2a,求二面角B-pC-D的大小。

解析1.定义法 过D作DE ⊥pC于E,过E作EF ⊥pC于F,连接FD,由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-pC-D的平面角。求解二面角B-pC-D的大小只需解△DEF即可。

解析2.垂面法 易证面pAB⊥面pBC,过A作AM ⊥Bp于M,显然AM ⊥面pBC,从而有AM ⊥pC,同法可得AN ⊥pC,再由AM与AN相交与A得pC ⊥面AMN。设面AMN交pC于Q,则为二面角B-pC-D的平面角;再利用三面角公式可解。

解析3.利用三垂线求解 把四棱锥p-ABCD补成如图的直三棱柱pAB-EDC,显然二面角E-pC-D与二面角D-pC-B互补,转化为求二面角E-pC-D。

易证面pEDA ⊥pDC,过E作EF ⊥ pD于F,显然pF ⊥面pDC,在面pCE内,过E作EG ⊥pC于G,

连接GF,由三垂线得GF⊥ pC 即为二面角E-pC-D的平面角,只需解△EFG即可。

解析4. 射影面积法 由解析3的分析过程知,△pFC为△ pEC在面pDC上的射影,由射影面积公式得,余下的问题比较容易解决!

解析5.在面pDC内,分别过D、B作DE ⊥pC于E,BF ⊥pC于F,连接EF即可。

利用平面知识求BF、EF、DE的长度,再利用空间余弦定理求出q 即可。

方法提炼3.求二面角的方法比较多,常见的有:

(1)定义法 在棱上的点分别作棱的垂线,如解析1

(2)三垂线求解 在棱上的点分别作棱的垂线,如解析2

(3)垂面法 在棱上的点分别作棱的垂线,如解析3

图示

A.定义法(点在棱上)B.三垂线定理(点在面内)   C.垂面法(点在空间内)

(4)射影面积法 利用射影面积与斜面的关系求解 如图所示, 射影DDBC、斜面△ABC与两面所成的二面角q之间有:

(5)空间余弦定理 运用公式

求解,如例3解析5

六.针对训练

针对训练1. 已知正方体中,E、F分别是棱的中点。求EF与AD所成角的大小为__________,与平面所成角为______________。

针对训练2. 已知二面角a-l- b ,A为面a内一点,A到b 的距离为 2 ,到l的距离为4。求二面角 a-l- b 的大小。

针对训练3 . 如图,三棱锥p-ABC的顶点p在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O,若pB=AB=1,BC=,求二面角p-AB-C的正切值。

针对训练4. 如图p为二面角α–ι–β内一点,pA⊥α, pB⊥β,且pA=5, pB=8,AB=7,求这二面角的度数。

针对训练5 在直角坐标系中,设A (-2 , 3 )、B(3 ,-2 ),沿x轴把直角坐标平面折成大小为 的二面角后,,则 的值为

七.专题总结

本专题主要复习空间角(包括异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角)的定义、求法,可总结为:

线线角,用平移,妙选顶点,

线面角,作射影,二足相连。

二面角,求法多,空间余弦,

用定义,三垂线,射影垂面。

熟化归,解三角,算准结果,

作证求,三环节,环环相扣。

求解的基本思路为:

八.课外作业

1.如图,正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角,且∠BCD=90°,

∠CBD=30°. (2003 年南京市高三第三次质量检测卷数学-18)

(Ⅰ)求证:AB⊥CD; (Ⅱ)求二面角D—AB—C的大小;(Ⅲ)求异面直线AC和BD所成的角.

2.如图,平面ABCD⊥平面ABEF,ABCD是正方形,ABEF是矩形,且G是EF的中点,(Ⅰ)求证平面AGC⊥平面BGC;(Ⅱ)求GB与平面AGC所成角的正弦值.

(Ⅲ)求二面角B—AC—G的大小(唐山市03 ~ 04年度高三摸底考试-18)

3如图,四棱锥p—ABCD中,侧面pDC是边长为2的正三角形且与底面ABCD垂直, 且ABCD为菱形.

(1)求证:pA⊥CD;

(2)求异面直线pB和AD所成角的余弦值;

(3)求二面角p—AD—C的正切值.

(山东济南市2004年1月高三统一考试-数学(文)-20)文本框:

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