空间向量的坐标运算 (一） 人教选修

空间向量的坐标运算

第一课时　空间直角坐标系

教学目标：

㈠知识目标：

⒈空间直角坐标系；

⒉空间向量的坐标表示；

⒊空间向量的坐标运算；

⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系；

5.中点公式。

㈡能力目标：

⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标；

⒉掌握空间向量坐标运算的规律；

3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；

4.会用中点坐标公式解决有关问题。

教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算

教学难点：向量坐标的确定

教学方法：讨论法．

教具准备：多媒体投影．

教学过程：

复习回顾

空间向量基本定理

探索研究

1、空间右手直角坐标系的概念

⑴单位正交基底　如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{I,j,k}表示。

⑵空间直角坐标系O－xyz　在空间选定一点O和一个单位正交基底{I,j,k}，以点O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量I,j,k叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。

⑶空间直角坐标系的画法 作空间直角坐标系O－xyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。

注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

⑷空间向量的坐标表示 给定一空间直角坐标系和向量a，且设I,j,k为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1,a2,a3）叫做向量a在此直角坐标系中的坐标，可简记作a＝（a1,a2,a3）。

在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若

则有序数组(x,y,z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x叫做A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。

⑸空间任一点p的坐标的确定过p分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A、B、C三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当与i方向相同时，x＞0，反之x＜0，同理可确定y、z（如图）

例1已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别是BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。

分析：要求点E的坐标，过点E与x轴、y轴垂直的平面已存在，只要过E作平面垂直于z轴交E‘点，此时|x|＝|y|＝|z|＝，当的方向与x轴正向相同时，x＞0，反之x＜0，同理确定y、z的符号，这样可求得点E的坐标。

解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，

A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，,D1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)

2、向量的直角坐标运算

注：

反思应用

例2　已知a＝(2，－3,5)，b＝(－3,1，－4)，求a＋b，a－b，8a，a?b。

解：a＋b＝（2，－3,5）＋（－3,1，－4）＝（－1，－2,1），

a－b＝（2，－3,5）－（－3,1，－4）＝（5，－4,9），

8a＝8（2，－3,5）＝（16，－24,40），

a?b＝（2，－3,5）?（－3,1，－4）＝－6＋（－3）＋（－20）＝－29

例3　在正方体要ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CD的中点，求证：D1F⊥平面ADE

证明：不妨设已知正方体的棱长为2，

建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则

又

∴D1F⊥AE，又AD∩AE＝A，∴D1F⊥平面ADE

小结：

①本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定。

②原点的坐标为(0,0,0)，x轴上的坐标为(x,0,0)，y轴上的坐标为(0,y,0)，z轴上的坐标为(0,0,z).

③要使一向量a＝(x,y,z)与z轴垂直，只要z＝0即可。事实上，要使向量a与哪一个坐标轴垂直，只要向量a的相应坐标为0。

巩固练习　p39　练习　1－6

例4　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、D1B1的中点，求证EF⊥平面B1AC。

分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，

需添加辅助线。

证明：设A1B1的中点G，连EG、FG、A1B，

则FG∥A1D1，EG∥A1B，∵A1D1⊥平面A1B，

∴FG⊥平面A1B，∵A1B⊥AB1，∴EG⊥AB1，

由三垂线的逆定理，得EF⊥AB1，同理EF⊥B1C，

又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC。

分析二：选基底，利用向量的计算来证明。

证明：设?＝a，＝b，＝c，则

＝(－a＋b＋c)/2

＝a＋b

＝(－a＋b＋c)/2?(a＋b)＝(b2－a2＋c?a＋c?b)/2

＝(|b|2－|a|2＋0＋0)/2＝0，，即EF⊥AB1，同理EF⊥B1C，

又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC。

分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的。

证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2,2,1),

F(1,1,2),

＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(―1,―1,1)

＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)

＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)

＝(―1,―1,1)? (0,2,2)＝0

＝(―1,―1,1)? (－2,2,0)＝0

∴EF⊥AB1， EF⊥AC，又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC。

归纳总结

1、空间直角坐标系的概念

2、向量的坐标运算

3、实际问题中如何建系

作业　p42 习题9.6 3、4、5

第二课时　夹角和距离公式

教学目标：

㈠知识目标：

⒈向量长度公式；

⒉两向量夹角公式；

⒊空间两点间的距离公式、中点坐标公式；

⒋平面的法向量．

㈡能力目标：

⒈掌握向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题；

⒉了解平面的法向量的概念．

教学重点：夹角公式、距离公式．

教学难点：夹角公式、距离公式的应用．

教学方法：讨论法．

教具准备：多媒体投影．

教学过程：

复习回顾

上节课我们学习了空间直角坐标系、向量的直角坐标运算等知识内容，请回忆一下向量的直角坐标运算法则．

设a＝，b＝，则

⑴a＋b＝； ⑵a－b＝；

⑶λa＝； 　⑷a·b＝

上述运算法则怎样证明呢？

怎样求一个空间向量的坐标呢？

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键．这些公式为我们利用向量知识解决立体几何问题提供了有利的工具．

今天，我们将在以上运算法则的基础上，利用向量的数量积的意义，得出另外几个公式，为今后应用向量解决问题提供方便．

探索研究

⒈夹角公式

设，，我们怎样求这两个向量的模呢？

，．

这两个式子我们称为向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．

请大家动手试一试，如果把上述结果代入两个向量的数量积，会得出什么结果呢？

∵a·b＝|a||b|cos＜a,b＞

∴＝··cos＜a,b＞

由此可以得出：

这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：

当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；

当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；

当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．

利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点，，则

其中表示A与B两点间的距离．

反思应用

例1已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：

⑴线段AB的中点坐标和长度；

⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件．

解：⑴设是线段AB的中点，则

＝[(3,3,1)＋(1，0，5)]＝(2,,3)．

∴线段AB的中点坐标是(2,,3)．

．

⑵点到A、B两点距离相等，则

＝．

化简，得．

即到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件是

．

说明：⑴注意掌握中点坐标公式：

＝；

⑵例3⑵中点p的轨迹是线段AB的垂直平分平面．在空间中，关于x、y、z的三元一次方程的图形是平面．

例2　如图，在正方体中，，求与所成的角的余弦值．

解：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设

＝i，＝j，＝k．

以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz，则点B、

E1、D、F1的坐标分别为

B(1,1,0)，E1(1,,1)，D(0,0,0)，F1(0,,1)

∴＝(1,,1)－(1,1,0)＝(0,－,1)，

＝(0,,1)－(0,0,0)＝(0,,1)．

∴，，·＝．

∴cos＜,＞＝．

例3求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．

已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O、B为垂足．

求证：OA//BD．

证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设＝．

∵BD⊥α，

∴⊥i，⊥j，

∴·i＝·(1,0,0)＝x＝0，·j＝·(0,1,0)＝y＝0,

∴＝(0,0,z)．

∴＝zk．即//k．

由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD．

说明：

⑴请注意此例建立空间直角坐标系的方法，这是今后解题时常用的方法；

⑵如果表示一个向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则表示该向量所有的有向线段所在直线都垂直于α．

如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α．

如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．

巩固训练p42练习

归纳总结

对于一些较特殊的几何体或平面图形中有关夹角，距离，垂直，平行的问题，都可以通过建立坐标系将其转化为向量间的夹角，模，垂直，平行的问题，从而利用向量的坐标运算求解，并可以使解法简单化．值得注意的是——坐标系的选取要合理、适当．

作业p42习题9.6? 6、8

第三课时　空间向量的坐标运算

教学目标

1、进一步理解向量的坐标表示和坐标运算

2、能建立适应的空间直角坐标系并利用坐标方法求空间两个向量的夹角、距离等

3、利用向量的数量积解决与立体几何有关的问题

复习回顾

1、空间向量的坐标表示

2、空间向量的坐标运算

探索研究

例1　在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，则∠ABC＝＿＿＿。

∴∠ABC＝45°。

例2　已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)

⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；

⑵若向量a分别与向量垂直，且|a|＝，求向量a的坐标。

分析：⑴

∴∠BAC＝60°，

⑵设a＝(x,y,z)，则

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴a＝(1,1,1),a＝(－1，－1，－1).

例3　（创p42　12）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，AA1＝c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值。

分析一：利用

，以及数量积的定义，可求出

cos＜＞，从而得到异面直线BD1和

B1C所成角的余弦值。

分析二：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的。

解：建立如图所示空间直角坐标系，使D为坐标原点，

则B(b,a,0),D1(0,0,c),B1(b,a,c),C(0,a,0)

设异面直线BD1和B1C所成角为θ，则。

例4（创44,4）在棱长为1的正方体中ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、BD的中点，G在CD上，且CG＝CD/4，H为C1G的中点，⑴求证：EF⊥B1C；⑵求EF与C1G所成角的余弦值；⑶求FH的长。

解：以D为坐标原点，建立如图所示空间

直角坐标系D－xyz，由题意知E(0,0,1/2),

F(1/2,1/2,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1),

G(0,3/4,0),

⑴

,

即EF⊥B1C

⑵

由⑴知

，故EF与C1G所成角的余弦值为。

⑶∵H为C1G的中点，∴H(0,7/8.1/2),又F(1/2,1/2,0)

即FH＝

例5（创46，T13）　在四棱锥p－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且pA⊥底面ABCD，pD与底面成30°（pD和其在底面上的射影所成的角）。⑴若AE⊥pD，垂足为E，求证：BE⊥pD；⑵求异面直线AE与CD所成角的大小。

解：以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz，由题意知A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),

D(0,2a,0)

⑴证明：∵pD在底面上的射影是DA，且pD与底面成30°，∴∠pDA＝30°，

∵AE⊥pD，

，即BE⊥pD。

⑵解：由⑴知

又，

∴异面直线AE与CD所成角的大小为arccos

归纳总结

运用向量的坐标表示及其运算研究立体几何中的角、距离、证明垂直等问题时，关键是建立适当的坐标系，进而将向量坐标化，建立坐标系时，要充分利用图形的几何性质。

掌握运用向量求角、距离的方法。

作业　p43　习题9.6　8、9