空间向量的坐标运算（二） 人教选修

空间向量的坐标运算（二）

教学目标：

㈠知识目标：⒈向量长度公式；

⒉两向量夹角公式；

⒊空间两点间的距离公式、中点坐标公式；

⒋平面的法向量．

㈡能力目标：⒈掌握向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，

并会用这些公式解决有关问题；

⒉了解平面的法向量的概念．

教学重点：夹角公式、距离公式．

教学难点：夹角公式、距离公式的应用．

教学方法：讨论法．

教具准备：多媒体投影．

教学过程：

Ⅰ.复习引入

［师］上节课我们学习了空间直角坐标系、向量的直角坐标运算等知识内容，请回忆一下向量的直角坐标运算法则．

［生］设a＝，b＝，则

⑴a＋b＝； ⑵a－b＝；

⑶λa＝； ⑷a·b＝

［师］上述运算法则怎样证明呢？

［师］怎样求一个空间向量的坐标呢？

［生］一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．

［师］空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键．这些公式为我们利用向量知识解决立体几何问题提供了有利的工具．

今天，我们将在以上运算法则的基础上，利用向量的数量积的意义，得出另外几个公式，为今后应用向量解决问题提供方便．

Ⅱ.新课讲授

⒈夹角公式

［师］设a＝，b＝，我们怎样求这两个向量的模呢？

［生］｜a｜＝，｜b｜＝．

［师］这两个式子我们称为向量的长度公式．这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．

［师］请大家动手试一试，如果把上述结果代入两个向量的数量级，会得出什么结果呢？

［生］∵a·b＝|a||b|cos＜a,b>

∴＝··cos＜a,b＞

由此可以得出：

［师］这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：

当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；

当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；

当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．

［师］利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：

在空间直角坐标系中，已知点，，则

其中表示A与B两点间的距离．

例3已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：

⑴线段AB的中点坐标和长度；

⑵到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件．

解：⑴设是线段AB的中点，则

＝[(3,3,1)＋(1，0，5)]＝(2,,3)．

∴线段AB的中点坐标是(2,,3)．

．

⑵点到A、B两点距离相等，则

＝．

化简，得．

即到A、B两点距离相等的点的坐标x、y、z满足的条件是

．

说明：⑴注意掌握中点坐标公式：

＝；

⑵例3⑵中点p的轨迹是线段AB的垂直平分平面．在空间中，关于x、y、z的三元一次方程的图形是平面．

例4如图，在正方体中，，求与所成的角的余弦值．

解：不妨设已知正方体的棱长为１个单位长度，且设

＝i，＝j，＝k．

以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系D－xyz，则点B、

E1、D、F1的坐标分别为

B(1,1,0)，E1(1,,1)，D(0,0,0)，F1(0,,1)

∴＝(1,,1)－(1,1,0)＝(0,－,1)，

＝(0,,1)－(0,0,0)＝(0,,1)．

∴，，·＝．

∴cos＜,＞＝．

例5求证：如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行．

已知：直线OA⊥平面α，直线BD⊥平面α，O、B为垂足．

求证：OA//BD．

证明：以点O为原点，以射线OA为非负z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，i,j,k为沿x轴，y轴，z轴的坐标向量，且设＝．

∵BD⊥α，

∴⊥i，⊥j，

∴·i＝·(1,0,0)＝x＝0，·j＝·(0,1,0)＝y＝0,

∴＝(0,0,z)．

∴＝zk．即//k．

由已知O、B为两个不同的点，∴OA//BD．

说明：⑴请注意此例建立空间直角坐标系的方法，这是今后解题时常用的方法；

⑵如果表示一个向量的有向线段所在直线垂直于平面α，则表示该向量所有的有向线段所在直线都垂直于α．

［师］如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α．

如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．

Ⅲ.课堂练习

课本p42练习

Ⅳ.课时小结

对于一些较特殊的几何体或平面图形中有关夹角，距离，垂直，平行的问题，都可以通过建立坐标系将其转化为向量间的夹角，模，垂直，平行的问题，从而利用向量的坐标运算求解，并可以使解法简单化．值得注意的是——坐标系的选取要合理、适当．

Ⅴ.课后作业

课本p42习题9.6 ⒎ ⒏ ⒐

板书设计：

教学后记：