棱锥、圆锥的体积 人教必修

课型：新课

教学目的与要求：（１）掌握锥体的等积定值，锥体的体积公式。

（２） 理解"割补法"求体积的思想，培养学生发现问题，解决问题的能力。

教学重点与难点：公式的推导过程，即"割补法"求体积。

教学方法：发现式教学 教具：三棱柱模型、多媒体

1、复习祖暅 原理及柱体的体积公式。

2、等底面积等高的任意两个锥体的体积。

（类比于柱体体积公式的得出）。首先研究等底面积等高的任意两个锥体体积之间的关系。

取任意两个锥体，设它们的底面积都是S，高都是h。

（创造祖暅 原理的条件）把这两个锥体放在同一个平面α上。这时它们的顶点都在和平面α的任意平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和底面顶点的距离是h，截面面积分别是S₁、S₂，那么：

∵S₁/S=h₁²/h²，，S₂/S=h₁²/h²，

∴S₁/S=S₂/S，S₁=S₂。

根据祖日恒 原理，这两个锥体的体积相等，由此得到下面的定理：

定理，等底面积等高的两个锥体的体积相等。

3、三棱锥的体积公式

为研究三棱锥的体积，可类比于初中三角形面积的求法。

在初中，学习三角形的面积公式之前，已知有平行四边形的面积公式，为此，将ΔABC"补"成和它同底等高的平行四边形ABDC，然后沿其对角线BC，将平行四边形"分"成两个三角形，由对称性，得到的ΔABC的面积为平行四边形面积的一半，即为：S_ΔABC=1/2ah，（a其底边长，h为高）

而今，欲求三棱锥的体积，亦可类比地借助于已知的柱体体积公式。

能否将三棱锥"补"成一个底面积为S，高为h的三棱柱呢？

[可以]以AA＇为侧棱，以ΔABC为底面补成一个三棱柱。

也采用"分"的方法，这个三棱柱可分成怎样的三棱锥呢？

（图形没有打印）

[引导学生观察分析]将三棱柱分割成三个三棱锥，如图就是三棱锥１，和另两个三棱锥２、３。

三棱锥1、2的底ΔABA＇、ΔB＇A＇B的面积相等，高也相等（顶点都是C）。三棱锥2、3的底ΔB＇CB＇、ΔC＇B＇C的面积相等，高也相等。（顶点都是A＇）。

∴V₁=V₂=V₃=1/3V_三棱柱 ∵V_棱柱=Sh ∴V_三棱柱=1/3Sh

最后，因为和一个三棱锥等底面积等高的任何锥体都和这个三棱锥的体积相等，所以得到下面的定理。

定理：如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是h，那么它的体积是：V_锥体=1/3Sh。

推论：如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是： V_圆锥=1/3πr²h

4、锥体体积公式的应用。

练习1：正四棱锥底面积是S，侧面积为Q，则其体积为： 。

练习2：圆锥的全面积为14πcm²，侧面展开图的中心角为60°，则其体积为 。

练习3：边长为a的正方形，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这个扇形围成一个圆锥筒，求它的体积。

5、课堂小结：1°割补法求三棱锥的思想。

2°锥体的体积公式。