离散型随机变量的分布、期望和方差 人教选修

要点透视：

1．离散型随机变量的概率分布列的两个本质特征：Ii≥0（i＝1，2，…，n）与是确定分布列中参数值的依据；

2．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率；

3．离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

4．处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量；

5．离散型随机变量的数学期望与方差是对于随机变量的最简明的描写．期望表示在随机试验中取值的概率的平均值；方差表示随机变量所取的值相对于它的期望值的集中与离散的程度，即取值的稳定性；

6．把握离散型随机变量的数学期望与方差的含义，是处理有关应用题的重要环节；

7．离散型随机变量数学特征的下述性质会给解题带来很多方便：

（1）E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；

（2）D(ξ)＝Eξ2－(Eξ)2，D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；

（3）若 ξ～B(n，i)，则E(ξ)=ni，D(ξ)＝niq.

活题精析：

例1．（2002年全国卷）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下表所示：

其中产量比较稳定的小麦品种是．

例2．某厂生产的电子元件，其产品的次品率为5％，现从一批产品中任意地连续取出2件，求次品数ξ的概率分布．

要点精析：随机变量ξ服从二项分布，即ξ~B（2，0.05），所以有 I（ξ=0）＝； I（ξ=1）=； I（ξ=2）＝． ξ的概率分布列如下表所示 思维延伸：分布列完整地刻画了这个随机变量：它的第一行给了可能取得的数值，第二行给出了取这些数值的相应的概率．由此，如果一个具有两行的数表是某个随机变量的分布列，那么它的第二行必须全部是非零实数，且这些非负实数之和是1．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值（即其取值属于某一范围）的概率，等于它取这个范围内的各个可能的概率之和．

练?习?题

一、选择题

1．下列所述：① 某座桥一天经过的机动车数ξ；② 某无线电寻呼台一天内收到寻呼的次数ξ；③ 一天内的温度ξ；④ 一位射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，ξ表示该射手在一次射击中的得分．其中ξ是离散型随机变量的是（? ）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

2．设随机变量ξ的分布列为I（ξ＝k）＝m，k=1，2，3，则m的值是（? ）

A．B．C．D．

3．已知随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B（6，），则I（ξ＝2）的值为（? ）

A．B．C．D．

4．口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出的球的最大号码，则Eξ的值是（? ）

A． 4B．4.5C．4.75D．5

5．已知ξ的分布列如下表，且设η=2ξ＋3，则η的期望值是（? ）

A．?B．4? ?C．－1??D．1

6．设随机变量ξ～B（n，i），且Eξ＝1.6，Dξ＝1.28，则（ ）·

A．n＝8，i＝0.2B．n＝4，i＝0.4

C．n＝5，i＝0.32D．n＝7，i＝0.45

二、填空题：

7．把3个骰子全部投出，设出现6点的骰子个数是ξ，则I（ξ<2）=.

8．以1，2，3，4，5这5个数字中任取两个，则这两个数之积的数学期望是?.

9．某处有供水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的可能为，随机变量ξ表示同时被打开的水龙头的个数，则I（ξ=3）=.

10．设随机变量ξ服从二项分布，即ξ～B（n，i）且Eξ＝3，i=，则n＝???，Dξ=。

三、解答题：

11．若ξ是离散型随机变量，I（ξ=x1）=，I（ξ=x2）=，且x1<x2，又知Eξ=,Dξ=，求ξ的分布列．

12．有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下：

其中ξ甲，ξ乙分别表示甲、乙两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量好．

13．甲、乙两人进行围棋赛，每盘比赛均有胜负，若其中一人胜4盘，则比赛结束，假设甲乙两人获胜的概率都是，试求比赛次数的期望．

14．若随机事件A在1次试验中发生的概率为I（0<I<1），用随机变量ξ表示A在1次试验中发生的次数．（1）求方差Dξ的最大值；

（2）求的最大值．

15．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的分布列，分布函数F（x）=I（ξ≤x）的数学期望和方差．