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例说圆锥曲线中几何量范围的求法 人教选修

圆锥曲线中几何量的取值范围是靠解不等式而得到的,因此如何根据图形的性质,结合函数的思想方法和等价转化的思想方法,列出不等式(组)成为解题的关键,构造不等式的主要方法有:配方法,判别式法,基本不等式法,函数单调性法等等.下面举例说明:

已知直线y=kx-1与椭圆有且只有一个公共点,求ka的取值范围.

分析:这类问题常联立方程,通过讨论根的性质,确定参数的取值范围.

解:由消去y

依题意有

a>0,∴a=1-4k2>0

k,0<a≤1

说明:上述处理实质上是运用函数观点,首先由已知条件找出函数关系,然后ka相互制约出各自的范围,其程序性、操作性都很简单,是通理通法.

例2? 已知抛物线求抛物线与x轴交点的横坐标的取值范围.

解:抛物线与x轴交点的横坐标为

≥2

≥2或≤-2,

t=0时x=1

tR时,-1≤x2≤

x1∈[-1,],故抛物线与x轴交点横坐标的取值范围是[-1,].

说明:本题求x2范围用的是基本不等式法.在应用该法时要注意定理成立条件.另本题还可用判别式法求x2范围.

例3? 已知椭圆中心在原点,一条准线方程为x=1,过椭圆左焦点作斜率为1的直线l交椭圆于AB两点,若AB分别位于一、三象限,求椭圆短轴长的取值范围.

解:设椭圆方程为ab>1),l方程为y=xc,由AB分别在一、三象限,所以cb,而

∴0<c

∴0<b2,0<2b<1

说明:本题是运用函数的单调性求范围.

例4? 若椭圆上有不同两点关于直线y=4xm对称,求m的取值范围.

法一:设Ax1y1),Bx2y2)关于直线y=4xm对称,AB中点为Mx0y0),AB坐标代入椭圆方程相减得:

解得m范围为

法二? 设对称点AB所在直线方程为与椭圆方程联立消去y得:

说明:法一是利用点与曲线位置关系建立不等式,法二是利用一元二次方程根的判别式建立不等式,这两种方法是解决此类问题的常用方法.

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