两角和与差的三角函数 人教必修4
教学目标
(一)知识目标
1.平面内两点间的距离公式；
2.两角和的余弦公式.
(二)能力目标
1.掌握平面内两点间的距离公式和两角和的余弦公式；
2.能用以上公式进行简单的求值.
(三)德育目标
1.培养学生的应用意识；
2.提高学生的数学素质.
教学重点
余弦的和角公式及简单应用
教学难点
余弦的和角公式的推导
教学方法
启发引导式
1.引导学生建立一直角坐标系xoy，同时在这一坐标系内作单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为ox，交⊙O于点p1，终边交⊙O于点p2；角β的始边为Op2，终边交⊙O于p3，角－β的始边为Op1，终边交⊙O于点p4.并引导学生用α、β、－β的三角函数标出点p1、p2、p3、p4的坐标.(这一过程也可用多媒体课件处理，让学生仔细观察作图过程，并加以领会.)并充分利用单位圆、平面内两点间的距离公式，使学生弄懂由距离等式
｜p1p3｜＝｜p2p4｜化得的三角恒等式，并整理成为余弦的和角公式，从而克服本节课的重点.
2.强调两角和的三角函数的意义，例如cos（α＋β）是两角α与β的和的余弦，它表示角α＋β终边上任意一点的横坐标与原点到这点的距离之比.在一般情况下，cos（α＋β）≠cosα＋cosβ，并变换α、β的取值，以突出本节课的重点.
教具准备
幻灯片三张
第一张：（§4.6.1 A）
第二张：（§4.6.1 B）
第三张：（§4.6.1 C）
练习题：
1.求下列三角函数值
①cos（45°＋30°）
②cos105°
2.若
，求sinαsinβ.
3.求cos23°cos22°－sin23°sin22°的值.
4.若点p(－3，4)在角α终边上，点Q（－1，－2）在角β的终边上，求cos（α＋β）的值.
教学过程
Ⅰ.课题导入
师：在这一章的第一部分咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系?
Ⅱ.讲授新课
(打出幻灯片A，让同学观察)
师：我们在初中已经求过数轴上两点间的距离，下面请同学们回忆两点间(数轴上)的距离是如何求得的?
(学生作答，老师板书)
生：(口答)数轴上两点之间的距离就等于这两点所表示的两个数的差的绝对值.
师：(板书)
｜AB｜＝｜x2－x1｜
师：那么，我们是否可以用点的坐标来求平面内任意两点之间的距离呢?下面我们一起来看幻灯片.
(结合图形讲解并推导出平面内两点间的距离公式).
师：在这个坐标平面内有两点p1（x1，ｙ1），p2（x2，ｙ2），不妨从点p1，p2分别作x轴的垂线p1M1、p2M2，与x轴交于点M1（x1，0），M2（x2，0）；再从点p1，p2分别作ｙ轴的垂线p1Ｎ1，p2Ｎ2，与ｙ轴交于点Ｎ1（0，ｙ1），N2（0，ｙ2）.直线p1Ｎ1与p2M2相交于点Q，那么：
｜p1Q｜＝｜M1M2｜＝｜x2－x1｜，
｜Qp2｜＝｜N1N2｜＝｜ｙ2－ｙ1｜.
于是由勾股定理，可得
｜p1p2｜2＝｜p1Q｜2＋｜Qp2｜2
＝｜x2－x1｜2＋｜ｙ2－ｙ1｜2
＝（x2－x1）2＋（ｙ2－ｙ1）2
由此可得平面内p1（x1，ｙ1），p2（x2，ｙ2）两点间的距离公式：
｜p1p2｜＝
师：用此公式可将坐标平面内任意两点间的距离用其坐标求得.
例如：平面内A（2，1），B（3，5）
则：｜AB｜＝
(利用两点间的距离公式，推导两角和的余弦公式)
师：接下来，我们继续考虑如何运用两点间的距离公式，把两角和的余弦cos（α＋β）用α，β的三角函数来表示的问题.
首先，我们来回忆一下三角函数的定义.
生(口答)：设α是一个任意角，α的终边上任意一点p的坐标是（x，ｙ），它到原点的距离是
那么：
.
(打出幻灯片B，结合图形讲解并推导出两角和的余弦公式)
师：在直角坐标系xoy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使角α的始边为ox，交⊙O于点p1，终边交⊙O于点p2；角β的始边为Op2，终边交⊙O于点p3；角－β的始边为Op1，终边交⊙O于点p4，则点p1，p2，p3，p4的坐标分别是：
(师生共答)：p1（1，0），
p2（cosα，sinα），
p3（cos（α＋β），sin（α＋β）），
p4（cos（－β），sin（－β））.
师(板书)：由两点间的距离公式可得：
｜p1p3｜＝
｜p2p4｜＝
又由｜p1p3｜＝｜p2p4｜，得
［cos（α＋β）－1］2＋sin2（α＋β）＝［cos（－β）－cosα］2＋［sin（－β）－sinα］2
生：展开并整理，得
2－2cos（α＋β）＝2－2（cosαcosβ－sinαsinβ）
即：cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
师：这一式子充分说明了两角和的余弦
cos（α＋β）与α，β的三角函数cosα，cosβ，sinα，sinβ的关系.
即：两角和的余弦公式为：
这个公式对于任意的角α，β都成立.
但要注意：cos（α＋β）是两角α与β的和的余弦，它表示角α＋β终边上任意一点的横坐标与原点到这点的距离之比.
例如：当
∴cos（α＋β）≠cosα＋cosβ
即，不能把cos（α＋β）按分配律展开，应按两角和的余弦公式展开.
如：
?Ⅲ.课堂练习
(打出幻灯片C，让学生板演练习)
生：(板演)
解：①cos（45°＋30°）＝cos45°cos30°－sin45°sin30°
②
师(讲评)：从这两道练习题可看出一些非特殊角的三角函数值可通过特殊角的三角函数值求得.
如：①中cos（45°＋30°）＝cos75°＝
②中cos105°＝
75°，105°角均非特殊角，但其可化为两特殊角之和，所以其余弦值不必通过查表，只要利用两角和的余弦公式便可求出.
另外，cos105°＝cos（180°－75°）＝－cos75°
生：2解：由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
得：sinαsinβ＝cosαcosβ－cos（α＋β）
将cosαcosβ＝－
cos（α＋β）＝－1代入上式
可得：sinαsinβ＝
师：这一练习提示我们应熟练掌握两角和的余弦公式，以便灵活应用其解决一些问题.
生：3解：cos23°cos22°－sin23°sin22°＝cos（23°＋22°）＝cos45°＝
生：4解：由点p（－3，4）为角α终边上一点；点Q（－1，－2）为角β终边上一点，
得：cosα＝－
，sinα＝
；
∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ＝（－
）×（－
）
师：对于此类习题，首先要仔细分析题意，寻找突破口，以便求解.
Ⅳ.课时小结
1.平面内p1（x1，ｙ1），p2（x2，ｙ2）两点间的距离公式：｜p1p2｜＝
2.两角和的余弦公式：
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ(C（α＋β））
3.以上两公式的推导及应用.
Ⅴ.课后作业
(一)课本p40习题4.6 3.(3)(4)(6)(8)
(二)1.预习内容：p35
2.预习提纲：
(1)将公式C（α＋β）中的β用－β代替，看会得到什么新的结果?
(2)将公式C（α＋β）中的β用
代替，看会得到什么新的结果?
板书设计
§4.6.1 两角和的余弦 一、平面内两点间的距离公式推导 若p1（x1，ｙ1），p2（x2，ｙ2） 则 二、两角和与差的三角函数 | 两角和的余弦公式及推导
三、例题讲解 复习回顾 数轴上两点间距离 |
|AB|=|x2-x1| |
备课资料
1.下列命题中的假命题是 ( )
A.存在这样的α和β的值，使得
cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B.不存在无穷多个α和β的值，使得
cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C.对于任意的α和β，都有
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
Ｄ.不存在这样的α和β值，使得
cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ
答案：B
2.在△ABC中，已知cosA·cosB＞sinA·sinΒ，则△ABC一定是钝角三角形吗？
解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π
且A＋B＋C＝π
即：A＋B＝π－C
由已知得cosA·cosB－sinA·sinB＞0
即：cos（A＋B）＞0
∴cos（π－C）＝－cosC＞0即cosC＜0∴C一定为钝角
∴△ABC一定为钝角三角形.
教学后记
中考 高考名著
常用成语