幂函数与二次函数 人教必修

重点难点

这部分的重点是落实二次函数的基础知识及其与二次方程及二次不等式的关系．

二次函数的解析式有三种形式：f(x)=ax²＋bx＋c，f(x)=a(x＋m)²＋n，f(x)=a(x-x₁)(x-x₂)．其中a≠0二次函数的图象是一条抛物线．对称轴方程

下，当Δ=b²-4ac＞0时，二次函数的图象与x轴有两个交点M₁(x₁，0)

从函数观点来看，一元二次不等式ax²＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是二次函数y=ax²＋bx＋c(a＞0)的图象上，位于x轴上方的点的横坐标的取值集合，而一元二次方程ax²＋bx＋c=0(a＞0)的根，就是相应的二次函数与x轴交点的横坐标．

这部分的难点是运用二次函数的知识，解决与二次方程和二次不等式有关系的综合性问题．

教学过程

二次函数虽然是初中的内容，但对其图象和性质的理解与应用，要随着学生知识面的扩展而不断的深化，二次函数的单调性、对称性及其在指定闭区间上最值的问题与高中数学中不等式、数列、解析几何等问题均有密切的联系，也是历年高考中的热点问题．

一、幂函数的图象、性质和应用

幂函数y=xn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取

例1图2为幂函数y=xⁿ在第一象限的图象， 则C₁，C₂，C₃，C₄的大小关系为 [ ]．

A．C₁＞C₂＞C₃＞C₄B．C₂＞C₁＞C₄＞C₃C．C₁＞C₂＞C₄＞C₃D．C1＞C₄＞C₃＞C₂

应选C．

评述幂函数y=xⁿ在第一象限内的图象均过点(1，1)，在区间(1，＋∞)上，n的值越小，图象越靠近x轴．

例2比较下列各组数的大小：

(1)分析底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化成比较同一幂函数，不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了．

(3)分析为了应用幂函数的单调性，要将指数统一，底数化为正数．

即

评述此例充分显示了化归转化思想在比较幂型数大小中的运用．

评述解析式中含字母系数的二次函数的性质是复习的重点．用数形结合的方法，使分析问题的思路更清晰，使隐含条件更直观，而分类讨论则是解决这类问题的常用方法，如何对字母进行分类，是一个难点，一般情况下，是先讨论字母的特殊取值，再根据特殊值分区间讨论，什么是字母的特殊值，要具体问题具体分析．