抛物线 教学设计 人教选修2
●教学目标
（一）教学知识点
1.抛物线的定义.
2.抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线.
（二）能力训练要求
1.掌握抛物线的定义及其标准方程.
2.掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系.
（三）德育渗透目标
1.训练学生化简方程的运算能力.
2.培养学生数形结合、分类讨论的思想.
3.根据圆锥曲线的统一定义，可以对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育.
●教学重点
1.抛物线的定义及焦点与准线.
2.抛物线的四种标准方程形式，以及p的意义.
●教学难点
抛物线的四种图形，标准方程的推导及焦点坐标与准线方程.
●教学方法
启发引导式
通过回忆椭圆与双曲线的第二定义可引入抛物线的定义，从而推出抛物线的四种标准方程.
●教具准备
投影片两张
第一张：抛物线的四种形式（记作§8.5.1 A）
第二张：例题与课时小结（记作§8.5.1 B）
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］我们知道，到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹，当常数在（0，1）内变化时，轨迹是椭圆；当常数大于1时，轨迹是双曲线；那么当常数等于1时轨迹是什么曲线呢？这就是今天我们要学习的第三种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程.
板书课题“抛物线及其标准方程（1）”.
［师］现在，同学们思考两个问题：
1.对抛物线大家已有了哪些认识？
［生］在物理学中，抛物线被认为是抛体运动的轨迹；在数学中，抛物线是二次函数的图象.
［师］2.二次函数中抛物线的图象特征是什么？
［生］在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴平行于y轴，开口向上或开口向下两种情形
［师］如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了.今天我们突破函数研究中的限制，从一般意义上来研究抛物线.
Ⅱ.讲授新课
［师］如图所示，把一根直尺固定在图上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.请同学们说出这条曲线有什么特征？
［生］这条曲线上任意一点p到F的距离与它到直线l的距离相等.再把图板绕点F旋转90°，曲线即为初中见过的抛物线.
［师］现在我们一起归纳抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.下面根据抛物线的定义来求其方程，大家先想想一般求曲线方程的步骤.
［生］首先建立适当的坐标系，然后在曲线上任取一点坐标设为（x,y)，再根据题意找出x与y的关系即为所求方程.
［师］现在大家自己求抛物线方程，根据抛物线定义，知道F是定点，l是定直线，从而F到l的距离为定值，设为p，则p是大于0的数.
以下是学生的几种不同求法：
解法一：以l为y轴，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系（如右图所示），则定点F（p,0)
设动点M（x,y)，由抛物线定义得：
化简得：
y2=2px-p2(p＞0)
解法二：以定点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系（如右图所示），则定点F（0，0），l的方程为x=-p.
设动点M（x,y)，由抛物线定义得：
=|x＋p|
化简得：
y2=2px＋p2(p＞0)
解法三：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（
,0）,l的方程为x=-
.
设动点M（x,y），由抛物线定义得：
化简得
y2=2px(p＞0)
［师］通过比较可以看出，第三种解法的答案不仅具有较简的形式，而且方程中一次项的系数是焦点到准线距离的2倍.我们把这个方程叫做抛物线的标准方程，它表示抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是（
,0），准线方程是x=-
.现在大家开始做课本p118上的练习第1题.
学生们经过一番运算，得出当坐标系变为以过焦点且垂直于直线l的直线作为y轴，原点和抛物线都不变时，抛物线方程为x2=2py.
［师］一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表所示：（打出投影片§8.5.1 A）
图形 | 标准方程 | 焦点坐标 | 准线方程 |
| y2=2px(p＞0) | （ | x=- |
| y2=-2px(p＞0) | （- | x= |
| x2=2py(p＞0) | （0, | y=- |
| x2=-2py(p＞0) | （0,- | y= |
,0）
,0）
）
）
［师］下面结合表格，看下列例题：（打开§8.5.1 B)
1.已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程.
2.已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程.
分析：1.先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程.
2.先根据焦点位置确定抛物线类型，设出标准方程，求出p，再写出标准方程.
解：1.∵抛物线方程为y2=6x
∴p=3
则焦点坐标是（
，0）
准线方程是x=-
2.∵焦点在y轴的负半轴上，且
=2
∴p=4
则所求抛物线的标准方程是
x2=-8y
Ⅲ.课堂练习
请学生板演
（1）根据下列条件写出抛物线的标准方程：
①焦点是F(0,3)，
②准线方程是x=-
，
③焦点到准线的距离是2.
解：①∵焦点是F（0，3）
∴抛物线开口向上，且
=3
则p=6
∴所求抛物线方程是
x2=12y
②∵准线方程是x=-
∴抛物线开口向右，且
=
则p=
∴所求抛物线方程是
y2=x
③∵焦点到准线的距离是2
∴p=2
∴所求抛物线方程是
y2=4x、y2=-4x、x2=4y、x2=-4y
(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
①y2=20x,
②x2＋8y=0,
③2y2＋5x=0.
解：①∵抛物线方程为y2=20x
∴p=10
则焦点坐标是F(5,0)
准线方程是x=-5
②∵抛物线方程是x2＋8y=0,即x2=-8y
∴p=4
则焦点坐标是F（0，-2）
准线方程是y=2
③∵抛物线方程是2y2＋5x=0，即y2=-
x
∴p=
则焦点坐标是F(-
,0)
准线方程是x=
Ⅳ.课时小结
由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式都只含有一个参数p，因此只要给出确定p的一个条件就可以求出抛物线的标准方程.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就惟一确定.
Ⅴ.课后作业
（一）课本p119习题8.5 2、4
（二）预习内容：该小节剩下的两道例题.
●板书设计
§8.5.1 抛物线及其标准方程 (一)抛物线 （二）标准方程 （三）例题 定义 推导 （四）练习题 （五）课时小结 |
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