抛物线 教学设计 人教选修4

●教学目标

掌握抛物线的定义，灵活应用定义求轨迹方程；

掌握抛物线焦点弦的性质及焦点弦长的求法.

●教学重点

抛物线定义、几何性质的应用

●教学难点

抛物线的应用

●教学方法

启发引导式

●教具准备

三角板

●教学过程

Ⅰ.复习回顾：

师：上一节，我们学习了抛物线的定义及其标准方程，首先作简要回顾（略）.

这一节，我们继续研究抛物线的定义及其标准方程的灵活运用.

Ⅱ.讲授新课：

师：这一节，我们主要通过例题分析研究抛物线定义及其标准方程在解题时的具体应用.

例2 点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x＋5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.

分析：由已知，点M属于集合

将|MF|用点的坐标表示出来，化简后就可得到点M的轨迹方程，但这种解法的化简过程比较繁琐.

仔细分析题目的条件，不难发现：首先，点M的横坐标x应满足x＞－5,即点M应在直线l的右边，否则点M到F的距离大于它到l的距离；其次，“点M与点F的距离比它到直线l：x＋5=0的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线x＋4=0的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x＋4=0为准线的抛物线.

解：如图8—21，设点M的坐标为（x，y）.

由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x＋4=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线.

因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为：y2=16x

说明：此题为抛物线定义的灵活应用，应强调学生加强对抛物线定义的理解与认识.

例3 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.

分析：例3是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB分段转化成点A、B到准线距离，从而达到求解目的.

解法一：如图8—22，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为y=x－1. ①

将方程①代入抛物线方程y²=4x,得

（x－1）²=4x 化简得x²－6x＋1=0

解之得：

将x1，x2的值分别代入方程①中，得

即A、B坐标分别为、.

解法二：在图8—22中，由抛物线的定义可知，|AF|等于点A到准线x=－1的距离

同理

于是得|AB|=|AF|＋|BF|=x₁＋x₂＋2.

由此可以看到，本题在得到方程x²－6x＋1=0后，根据根与系数关系可以直接得到x₁＋x₂=6

于是可以求出|AB|=6＋2=8.

说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率.

Ⅲ.课堂练习

课本p119 4，5.

●课堂小结

师：通过本节学习，要求大家进一步掌握抛物线的定义，并灵活运用抛物线定义求轨迹方程，同时掌握焦点弦性质的应用.

●课后作业

习题8.5 5，6，7.

●板书设计

§8.5.2……

例2…… 例3……

…… 学生练习

…… 解法一 解法二

●教学后记