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抛物线及其标准方程(1) 人教选修

第十三节:抛物线及其标准方程(一)

教学目标:掌握抛物线的定义;会推导抛物线的标准方程,能根据条件熟练地求抛物线的标准方程。

教学重点:抛物线的定义、标准方程。

教学过程:

一.复习:

椭圆、双曲线的第二定义是什么?

二.新授:

画抛物线

1.抛物线的概念:

定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。

2.推导抛物线的标准方程:

(1)建系设点:且设|KF|=p(p>0),那么焦点F的坐标为,准线l的方程为

(2)点的集合:设抛物线上的点M(x,y)到l的距离为d,抛物线即集合 p={M||MF|=d}

(3)代数方程:

(4)化简方程得:

(5)证明:略

方程叫做抛物线的标准方程

注意:(1)它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(,0),它的准线方程是

(2)一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

3、举例:

例1、(1)已知抛物线的标准方程是,求它的焦点坐标和准线方程。

(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程。

解:(1)因为p=3,所以焦点坐标是(,0),准线方程是x=-

(2)因为焦点在y轴的负半轴上,并且=2,p=4,所以所求抛物线的标准方程是

三.做练习:

1、根据下列条件写出抛物线的标准方程

(1)焦点是F(3,0)

(2)准线方程是x=-1/4

(3)焦点到准线的距离是2

2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程

(1)y2=20x (2) x2=0.5y (3)2y2+5x=0 (4)x2+8y=0

3、抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>p/2),则点M到准线的距离是,点M的横坐标是

4、抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是

四.小结:抛物线的标准方程有四种形式,p的意义是表示焦点到准线的距离,因为焦点不在准线上,所以p>0,若p=0,则点F在准线上,抛物线蜕变成一条直线;标准方程中p前面的符号决定了抛物线的开口方向。

五、布置作业:习题8.5第1、2、3题

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