新学网首页 语文 数学 物理 化学 作文 感动 心灵鸡汤 人生感悟 名著知识 成语大全 唐诗 宋词 名人名言 英文词典 登录

双曲线及其标准方程 人教选修

一、教学目标

(一)知识教学点

使学生掌握双曲线的定义和标准方程,以及标准方程的推导.

(二)能力训练点

在与椭圆的类比中获得双曲线的知识,从而培养学生分析、归纳、推理等能力.

(三)学科渗透点

本次课注意发挥类比和设想的作用,与椭圆进行类比、设想,使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识.

二、教材分析

1.重点:双曲线的定义和双曲线的标准方程.

(解决办法:通过一个简单实验得出双曲线,再通过设问给出双曲线的定义;对于双曲线的标准方程通过比较加深认识.)

2.难点:双曲线的标准方程的推导.

(解决办法:引导学生完成,提醒学生与椭圆标准方程的推导类比.)

3.疑点:双曲线的方程是二次函数关系吗?

(解决办法:教师可以从引导学生回忆函数定义和观察双曲线图形来解决,同时让学生在课外去研究在什么附加条件下,双曲线方程可以转化为函数式.)

三、活动设计

提问、实验、设问、归纳定义、讲解、演板、口答、重点讲解、小结.

四、教学过程

(一)复习提问

1.椭圆的定义是什么?(学生回答,教师板书)

平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.教师要强调条件:(1)平面内;(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数;(3)常数2a>|F1F2|.

2.椭圆的标准方程是什么?(学生口答,教师板书)

(二)双曲线的概念

把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?它的方程是怎样的呢?

1.简单实验(边演示、边说明)

如图2-23,定点F1、F2是两个按钉,MN是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管,点M移动时,|MF1|-|MF2|是常数,这样就画出曲线的一支;由|MF2|-|MF1|是同一常数,可以画出另一支.

注意:常数要小于|F1F2|,否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线.

2.设问

问题1:定点F1、F2与动点M不在平面上,能否得到双曲线?

请学生回答,不能.强调“在平面内”.

问题2:|MF1|与|MF2|哪个大?

请学生回答,不定:当M在双曲线右支上时,|MF1|>|MF2|;当点M在双曲线左支上时,|MF1|<|MF2|.

问题3:点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|?

请学生回答,不一定,也可以是|MF2|-|MF1|.正确表示为||MF2|-|MF1||.

问题4:这个常数是否会大于等于|F1F2|?

请学生回答,应小于|F1F2|且大于零.当常数=|F1F2|时,轨迹是以F1、F2为端点的两条射线;当常数>|F1F2|时,无轨迹.

3.定义

在上述基础上,引导学生概括双曲线的定义:

平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距.

教师指出:双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆,不要死记.

(三)双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程.这时设问:求椭圆的方程的一般步骤方法是什么?不要求学生回答,主要引起学生思考,随即引导学生给出双曲线的方程的推导.

标准方程的推导:

(1)建系设点

取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)

建立直角坐标系.

设M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距是2c(c>0),那么F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0).又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数.

(2)点的集合

由定义可知,双曲线就是集合:

p={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}.

(3)代数方程

(4)化简方程(由学生演板)

将这个方程移项,两边平方得:

化简得:

两边再平方,整理得:

(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).

(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导.)

由双曲线定义,2c>2a  即c>a,所以c2-a2>0.

设c2-a2=b2(b>0),代入上式得:

b2x2-a2y2=a2b2

这就是双曲线的标准方程.

两种标准方程的比较(引导学生归纳):

教师指出:

(1)双曲线标准方程中,a>0,b>0,但a不一定大于b;

(2)如果x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;如果y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上.

(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2,不同于椭圆方程中c2=a2-b2

(四)练习与例题

1.求满足下列的双曲线的标准方程:

焦点F1(-3,0)、F2(3,0),且2a=4;

3.已知两点F1(-5,0)、F2(5,0),求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程.如果把这里的数字6改为12,其他条件不变,会出现什么情况?

由教师讲解:

按定义,所求点的轨迹是双曲线,因为c=5,a=3,所以b2=c2-a2=52-32=42.

因为2a=12,2c=10,且2a>2c.

所以动点无轨迹.

(五)小结

1.定义:平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.

3.图形(见图2-25):

4.焦点:F1(-c,0)、F2(c,0);F1(0,-c)、F2(0,c).

5.a、b、c的关系:c2=a2+b2;c=a2+b2

五、布置作业

1.根据下列条件,求双曲线的标准方程:

(1)焦点的坐标是(-6,0)、(6,0),并且经过点A(-5,2);

3.已知圆锥曲线的方程为mx2+ny2=m+n(m<0<m+n),求其焦点坐标.

作业答案:

2.由(1+k)(1-k)<0解得:k<-1或k>1

六、板书设计

中考 高考名著

常用成语

新学网 Copyright (C) 2007-2018 版权所有 All Rights Reserved. 豫ICP备09006221号