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椭圆 2 人教选修

●教学目标

(一)教学知识点

椭圆的范围、对称性、对称轴、对称中心、离心率及顶点(截距).

(二)能力训练要求

1.使学生了解并掌握椭圆的范围.

2使学生掌握椭圆的对称性,明确标准方程所表示的椭圆的对称轴、对称中心.

3.使学生掌握椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长以及abc的几何意义,明确标准方程所表示的椭圆的截距.

4.使学生掌握离心率的定义及其几何意义.

(三)德育渗透目标

使学生充分认识到数与形的联系,体会数与形的辩证统一.

●教学重点

椭圆的简单几何性质.

●教学难点

椭圆的简单几何性质.

(这是第一次用代数的方法研究几何图形的性质的)

●教具准备

投影片两张

第一张:p97图8—6(记作§8.2.1 A)

第二张:本课时教案后面的预习内容及预习提纲.(记作§8.2.1 B)

●教学方法

师生共同讨论法.

通过师生的共同讨论研究,学生的亲身实践体验,使学生明确椭圆的几何性质的研究方法,加强对性质的理解,掌握椭圆的几何性质.

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[师]上节课我们学习了求轨迹方程的一种方法——转移法(代换法),哪一位同学能谈一下,求点的轨迹方程时,什么情况下,用转移法.

[生]当动点的运动随着另一个点的运动而运动,而另一个点又在规律的曲线上时,求动点的轨迹方程用转移法(代换法).

[师]转移法的关键是什么?

[生]转移法的关键是建立两个动点间的坐标关系.

[师]转移法的实质是什么?

[生]转移法的实质就是将动点转移到有规律的曲线上,进而求出动点的轨迹方程.

[师]好,我们研究讨论椭圆的标准方程已有好几个课时了,研究讨论它的方程有什么意义呢?研究方程就是想进一步认识这种曲线的几何特征.

(板书课题)

Ⅱ.讲授新课

[师]研究曲线的几何特征有什么意义?

[生](通过预习,学生大部分已清楚了).研究曲线的几何性质可以从整体上把握曲线的形状.大小和位置.

[师]怎样来研究曲线的几何特征呢?

在解析几何里,是通过对曲线的方程的讨论来研究曲线的几何特征的.

[师]下面我们利用椭圆的标准方程.

(ab>0)

来研究椭圆的几何性质.

1.范围:

[师]由标准方程可知,两个变量xy并非都是自变量,两个变量的变化互相依赖,互相制约,由于是两个非负数的和等于1,所以,椭圆上点的坐标(x,y)适合不等式:

≤1,≤1

即:x2≤a2,y2≤b2

∴|x|≤a,|y|≤b

这说明椭圆位于直线xa,yb所围成的矩形里.

2.对称性:

[师]在曲线的方程里,我们讨论过对称性,如果以-yy方程不变,那么当点px,y)在曲线上时,它关于x轴的对称点p′(x,-y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称,同理,如果以-xx方程不变,那么曲线关于y轴对称,如果同时以-xx,以-yy方程不变,那么曲线关于原点对称.

[师]我们来看椭圆的标准方程,以-xx,或以-yy或同时以-xx,-yy,方程怎样改变?

[生]没有改变.

[师]所以椭圆关于x轴、y轴及原点都是对称的,这时坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心.

(板书)

[师]请同学们注意:标准方程表示的椭圆,它的对称轴是坐标轴、中心是原点,那么能不能说椭圆的对称轴是坐标轴,椭圆的对称中心是原点呢?

[生]不能说椭圆的对称轴是坐标轴,中心是原点.

[师]既然不能这样说,那么椭圆是否就没有对称轴,没有中心了呢?

[生]无论椭圆在什么位置,它都有互相垂直的两条对称轴,都有中心,椭圆的对称轴不是坐标轴时,椭圆的方程不是标准方程.

[师]椭圆的对称轴不是坐标轴时,椭圆的方程是怎样的?

[生](回答不上来)

[师]关于这个问题随着我们以后的不断深入学习大家会搞清楚的.

(此课时不必研究)

[师]现在我们应该明白的是:标准方程表示的椭圆,其中心是原点,对称轴是坐标轴,反过来,对称轴是坐标轴的椭圆,其方程是标准方程.

3.顶点:

[师]研究曲线上某些特殊点的位置,可以确定曲线的位置,要确定曲线在坐标系中的位置,常常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标.同学们看一下,标准方程所表示的椭圆与x轴、y轴的交点坐标是怎样的.

[生]在椭圆的标准方程里,令x=0得yb,所以得到:(0,b)、(0,-b)是椭圆与y轴的两个交点,同理令y=0,得xa,可得(a,0)、(-a,0)是椭圆与x轴的两个交点.

[师]因为x轴、y轴是椭圆的对称轴,所以,椭圆与它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点,即椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.(板书)

[师]线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别是2a和2b,其中ab分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长.(板书)

[师]观察图8—6(打出投影片§8.2.1 A)

由椭圆的对称性可知,椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等,且等于长半轴长,即

|B1F1|=|B2F1|=|B1F2|=|B2F2|=a

RtOB2F2中

|OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2

c2=a2-b2

这就是在第8.1节中令a2-c2=b2的几何意义.

至此,abc三者都有了几何意义,它们分别是长半轴长、短半轴长、半焦距.

4.离心率

[师]椭圆的离心率是怎样定义的?

[生]椭圆的焦距与长轴长的比=e,叫做椭圆的离心率.(板书)

[师]椭圆离心率e的范围是怎样的?

[生]因为ac>0,所以0<e<1

[师]非常正确,e既然在(0,1)变化,e的变化又对椭圆有什么影响呢?

[生]e越接近于1,则c就越接近于a,从而b=越小,椭圆就越扁,反之,e越接近于0,则c就越接近于0,从而b就越接近于a,椭圆就越接近于圆.

[师]当且仅当a=b时,即c=0,两个焦点重合,这时图形变为圆,它的方程为:

x2+y2=a2

因此有些书把圆可以看作是椭圆的特例,它是离心率为0的椭圆,在我们的教材中,把圆单独作为一部分来研究.将圆与椭圆作为两种不同的曲线来讨论,所以椭圆的离心率为0<e<1.

[师]下面同学们自己来看例1.

(给学生几分钟时间)

[师]根据椭圆方程求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标时,首先应该做些什么?

[生]首先应将椭圆的方程化成标准方程.

[师]前面大家已预习椭圆的草图画法了,那么请大家谈一下画椭圆草图有几个步骤?应该注意些什么?

[生]三个步骤:

①以椭圆的长轴长、短轴长为邻边画矩形.

②由矩形的四边中点即可得椭圆的四个顶点.

③用光滑曲线将四个顶点连成一个椭圆.

在画图时应注意图形的对称性及顶点附近的平滑性.

Ⅲ.课堂练习

对于椭圆的两种标准方程,请同学们列表整理椭圆的简单几何性质.

曲线

椭圆

定义

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹

标准方程

图形

顶点坐标

(±a,0)(0,±b)

b,0),(0,±a)

对称轴

x轴长轴长2a

y轴短轴长2b

x轴短轴长2b

y轴长轴长2a

焦点坐标

(±c,0)c=

(0,±c)c=

离心率

0<

0<

Ⅳ.课时小结

本节课我们讨论了椭圆的四个简单几何性质,即范围、对称性、顶点、离心率,熟悉这些性质是我们解决计算问题、证明问题、轨迹问题及其他有关问题的基础和关键.

Ⅴ.课后作业

(一)1.课本p102练习1,2,3,5,

2.p103习题8.21,2,3.

(二)1.预习内容:p98例1,例2

2.预习提纲:

(1)在椭圆中已知e=,能否说a=2,c=1呢?若不能,那么e=,能说明什么呢?

(2)不清楚椭圆标准方程时,其标准方程有几种形式?

(3)椭圆的第二定义是什么?

(4)椭圆的准线是怎样定义的?

(5)对于一个确定的椭圆,它有几条准线?

(6)中心在原点焦点在y轴上的椭圆,它的准线方程是怎样的?

●板书设计

§8.2.1椭圆的简单几何性质(一)

对于椭圆的标准方程进行研究

1.范围

椭圆位xa,yb的矩形里

2.对称性小结

椭圆关于x轴、y轴、原点都对称

3.顶点

顶点坐标为(±a,0),(0,±b)

4.离心率

e=且0<e<1

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