椭圆 4 人教选修
●教学目标
（一）教学知识点
1.椭圆的标准方程
2.椭圆的比值定义
3.椭圆的准线及其方程
（二）能力训练要求
1.使学生掌握求适合条件的椭圆的标准方程的方法.
2.使学生理解椭圆的比值定义，椭圆的准线的定义.
3.使学生掌握椭圆的准线方程并能应用准线方程判定椭圆的焦点位置.
（三）德育渗透目标
继续对学生进行对立统一观点的教育.
●教学重点
椭圆的比值定义，椭圆的准线及其方程的应用.
●教学难点
椭圆准线方程的应用.
●教学方法
指导学生自学法
通过学生自学的实践，使学生在自学中掌握方法提高自己获取知识的能力及分析问题、解决问题的能力，在教师分析指导的基础上让学生完成解题表述过程，训练表述的逻辑性、完整性和推理的严密性、严谨性.
●教具准备
投影片四张
第一张：p99例2（记作§8.2.2 A）
第二张：p99例3（画图别画出坐标系）（记作§8.2.2 B）
第三张：p100例4（别画图）（记作§8.2.2 C）
第四张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作:8.2.2 D）
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上一节课我们学习了椭圆的简单几何性质，请同学们回忆一下性质的具体内容并回答椭圆16x2＋9y2=144中x,y的范围，长轴和短轴长、离心率、半焦距的大小、焦点及顶点的坐标.
［生］先将椭圆方程化成标准方程，得
∴-3≤x≤3,-4≤y≤4
长轴长2a=8，短轴长2b=6，离心率e=
,半焦距c=
，焦点坐标是
(0,-
),(0,
)，顶点坐标是（0，-4），（0，4），（3，0），（-3，0）.
（学生的回答也许会因为长轴的位置发生变化而导致焦点坐标出错，要予以及时处理更正）
［师］好，请同学们注意，椭圆的焦点始终在长轴上，这一点绝对不能大意！下面我们来看几个例子：
Ⅱ.讲授新课
［师］（打出投影片§8.2.2 A读题）
分析指导：前面的学习我们已经知道，标准方程表示的椭圆其中心在原点，对称轴合于坐标轴，而椭圆的标准方程有两种形式，所以求椭圆的标准方程关键是确定a、b的值及焦点的位置或长轴的位置，此题中的①小题只告诉了两个点的坐标，即椭圆上的两个点，这似乎有点不易解决问题，但认真注意一下，这两个点正是两个关键点，它们都是对称轴为坐标轴的椭圆与坐标轴的交点，即椭圆的顶点，所以这两个点分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，据此可求出a、b的值.
②小题的关键比较明确
下面请同学们自己完成解答过程，然后与课本上的对照一下，看自己的表述是否完整.
（让一名同学在黑板上板书，之后详讲）
［师］我们再来看这样一个题目，（打出投影片§8.2.2 B）读题，谁来做一下分析？
［生甲］卫星运行的轨道是椭圆，求卫星运行轨道的方程就是求椭圆的方程，而求椭圆的方程又需要建立坐标系.
［师］好，怎样建系呢？
［生甲］以过A、B、F2的直线为x轴，F2为椭圆的右焦点，记F1为椭圆的左焦点建立如图所示的直角坐标系（在投影片上作图建系）
设它的标准方程为
(a＞b＞0)
（学生回答教师板书）
［师］好，下面就该确定a、b的值了，同学们注意题中提供的信息是近地点，远地点到地面的距离以及地球的半径，由这些条件，我们可以知道些什么呢？
（学生对照图形认真思考）
［生乙］已知反映在图形上，就是：
|F2A|=6371＋439,|F2B|=6371＋2384
［师］生乙将已知条件反映在图形上的情况做了说明，正确吗？
［生］正确.
［师］那么我们再仔细观察一下图形.
（指给所有学生看）
|F2A|=|OA|-|OF2|=a-c
因此，我们有a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371＋439
（将此式子板书）
同理，我们可以得到（等待学生思考回答）
［生乙］a＋c=|OB|＋|OF2|=|F2B|=6371＋2384（板书）
联立解之得a=7782.5c=972.5
∴b=
用计算器求得b≈7722
∴卫星的轨道方程是
［师］很好，从这个题的分析求解来看，同学们基本上掌握了分析的方法，照这样持之以恒地训练下去，在我们的面前没有克服不了的困难.
［师］下面再请同学们看这样一道题目.
（打出投影片§8.2.2 C）请一位同学读题，并根据题意作出图来.
［生丙］（读题，作图）
（学生可能照着教材上的图画下来，这时教师应当指出：你知道点M的轨迹是椭圆吗？左边直线l′，点F′是怎样的直线，怎样的点呢？根据题意只应当画出坐标系，点F，直线l以及M、F的连线，M到l的垂线.）
［师］此题求的是点M的轨迹，且不清楚轨迹类型，应该用什么方法去完成呢？
［生］用坐标法
［师］下面哪一位同学来继续求解的过程？
［生丁］根据题意得：
x2-2cx＋c2＋y2=a2-2cx＋
x2
a2x2＋a2c2＋a2y2=a4＋c2x2
(a2-c2)x2＋a2y2=a2(a2-c2)
设a2-c2=b2，方程可化成
(a＞b＞0)
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、短轴分别为2a,2b的椭圆.
［师］生丁同学做得很好，要注意方程化简的过程要在草纸上完成，化简整理过程可简写成：“两边平方，化简整理得”来代替化简的步骤.
由此可知，动点与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0＜e＜1)时，动点的轨迹是椭圆（这是椭圆的比值定义，前面给出的椭圆的定义称为距离定义），定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率.
对于椭圆
,相当于焦点F（c,0）的准线方程是x=
，根据椭圆的对称性，相当于焦点F′(-c,0)的准线方程是x=
，所以椭圆有两条准线.
请同学们考虑一下，中心在坐标原点，长轴在y轴上的椭圆准线方程是怎样的？
Ⅲ.课堂练习
p102练习4，6，习题8.2,7,p1024
求下列条件下的椭圆的标准方程：
（1）a=6,e=
,焦点在x轴上
答案：
（2）c=3,e=
，焦点在y轴上
答案：
p1026
求下列椭圆的焦点和准线方程：
（1）
答案：F1（-8，0），F2（8，0），x=±
（2）2x2＋y2=8
答案：F1（0，-2），F2（0，2），y=±4
p103习题8.2,7
椭圆
的标准方程是 （ ）
A.x=±
B.y=±
C.x=±
D.y=±
答案：D
Ⅳ.课时小结
本节课我们继续讨论了椭圆的标准方程的求法，并给出了椭圆的比值定义、准线方程，请注意的是：一个椭圆有两条准线都垂直于长轴.另外，准线方程的形式要予以重视.
Ⅴ.课后作业
（一）课本p103习题8.24，5，6，7，8，9
（二）1.预习内容：课本p101例5
2.预习提纲:
(1)曲线的参数方程的定义是什么？
(2)在椭圆的参数方程中，常数a、b的几何意义是什么？
(3)椭圆的参数化为普通方程的关键是什么？
●板书设计
§8.2.2椭圆的简单几何性质（一） 例2的解答（学生板书） 例3的解答（师生共同完成） 例4的解答 椭圆的比值定义 小结 |
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