椭圆 5 人教选修
●教学目标
（一）教学知识点
1.椭圆的参数方程.
2.椭圆的参数方程与普通方程的关系.
（二）能力训练要求
1.使学生了解椭圆参数方程的来源，并能在研究椭圆的性质、建立椭圆的方程的过程中，正确地应用参数方程.
2.使学生掌握参数方程与普通方程的关系，正确互化以便灵活应用.
（三）德育渗透目标
使学生认识到事物的表现形式可能不止一种，认识事物要透过现象看本质.
●教学重点
1.建立椭圆的参数方程及椭圆参数方程的应用.
2.椭圆的参数方程与变通方程互化.
●教学难点
1.建立椭圆的参数方程及椭圆参数方程的应用.
2.椭圆的参数方程与普通方程的互化.
●教学方法
师生共同讨论法
通过师生共同讨论，使学生了解椭圆参数方程的来源，理解椭圆参数方程的建立方法，明确常数a、b的几何意义并掌握椭圆参数方程与普通方程的互化.
●教具准备
投影片两张
第一张：p101例5（记作§8.2.3 A）
第二张：本课时教案的例6、例7（记作§8.2.3 B）
多媒体课件一个：
在同一坐标平面内，以原点为圆心作两个半径不等的同心圆（用同一种颜色），作大圆的半径OA交小圆于B，作AN垂直于x轴，垂足为N，过B作BM⊥AN，垂足为M（点M标为另一种颜色）让OA绕点O旋转，看点M的轨迹，给学生一个直观印象.
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上一节课我们学习了椭圆的比值定义，哪位同学来叙述一下.
［生］动点到一个定点与一条直线的距离的比是一个常数e(0＜e＜1)时，动点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线.
［师］椭圆25x2＋9y2=225的准线方程是什么？
［生］将椭圆方程化成标准方程为：
可知：a=5,b=3,c=
=4
∴椭圆的准线方程是y=±
［师］同学们对准线方程的形式要予以掌握，另外，请注意知道a、c的值能写出准线方程，但知道准线方程要确定a、c的值，还需要其他条件，仅知道准线方程，只能确定a、c的关系，下面我们再来看这样一个题目.（打出投影片§8.2.3 A）
Ⅱ.讲授新课
［师］（读题，并用多媒体课件演示，对点M的轨迹给学生一个直观形象）
分析指导：题目让求当OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程，我们知道在解析几何中求哪个点的轨迹，就把哪个点的坐标设为(x,y)，然后再去寻求关系，那么我们来考虑一下，点M的坐标（x,y）随着哪个量的变化而变化呢？或者说选哪个量为参数呢？（给同学们留出思考的时间）
［生甲］点M的横坐标x就是点A的横坐标，点M的纵坐标就是点B的纵坐标，所以教一个量既能表示A点的横坐标又能表示B点纵坐标作为参数即可.由于OA在绕点O旋转，而且它的半径已知，△BOR、△AON匀为Rt△，故选转角∠AOx为参数，就既能表示B点的纵坐标,又能表示A点的横坐标.
［师］很好，生甲分析得透彻，大家听清楚了吗？
［生］明白啦！
［师］好，下面我们来写出解答过程（请一名同学在黑板上板书）
［生乙］设点M的坐标是(x,y)，φ是以Ox为始边，OA为终边的正角，取φ为参数，那么
x=ON=|OA|cosφ
y=NM=|OB|sinφ
即
这就是所求点M的轨迹的参数方程.
［师］做完的同学请举手.好，请放下，我们来看生乙的解答（师生共同审阅），有没有不完善或不严密的地方？
［生丙］我认为在取φ为参数的地方，标明参数的取值范围要严密一些，即标出0＜φ＜2π
［师］生丙所说的有道理吗？有必要吗？
（学生考虑）
［师］生丙所说的是非常有道理的，标明参数的取值范围是非常有必要的，不要以为课本上未谈及咱来谈就是多余的，就是多此一举的.事实上，求曲线的参数方程，对参数的范围是应予以足够重视的.这点在我们以后的做题中要引起注意.
至此，按题目要求，这道题我们做完啦，假如这道题条件不变，所求改为求点M的轨迹，我们该如何做呢？
［生］求出点M的轨迹方程，再指出轨迹是怎样的曲线吗？
［师］正确，怎样求其轨迹方程呢？求普通方程还是求参数方程呢？
［生］都可以.
［师］求出参数方程后，你能根据方程指出曲线类型吗？就是说上面所求出方程，你知道它表示的曲线是什么吗？
（生无言以对，也有可能根据我们前面演示的直观，或根据课前的预习会说是椭圆，但为什么呢？这时教师要抓住时机，指出应当怎样确定曲线的类型）.
［师］求出曲线的参数方程后，要想进一步确定曲线的类型，采用的方法仍然是化生疏为熟悉，将参数中的参数消去，得到曲线的普通方程，从而指出曲线类型，比如上面的参数方程，我们将两个方程分别变形，得：
=cosφ,
=sinφ
利用三角函数中同一角的三角函数关系，即可消去参数，也就是将方程两边平方后相加，
得：
即消去方程中的参数后，得到的方程是椭圆的标准方程：
由此可知，点M的轨迹是长轴为2a,短轴为2b的椭圆.
我们把方程
(0＜φ≤2π)称为椭圆的参数方程，在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的长半轴和短半轴长.
［师］上面我们讨论了椭圆的参数方程，并且讨论了参数方程化为普通方程的方法，那么给出椭圆的普通方程，怎样把它化为参数方程呢？
我们来看这样一个例子.（打出投影片§8.2.3 B）
［例6］将椭圆方程
化为参数方程.
分析指导：将普通方程化为参数方程，重要是利用三角函数中同一角的正弦值平方与它余弦值的平方和等于1的这个关系.
解：令x=4cosθ,(0＜θ≤2π)
∵sin2θ＋cos2θ=1
∴y=3sinθ
∴椭圆的参数方程为
(0＜θ≤2π)
［师］此时，我们可以说点（4cosθ,3sinθ）是椭圆上的任意一点吗？
［生］（略加考虑，作答），可以.因为(x,y)是椭圆
上的任意点，而x=4cosθ,y=3sinθ，所以(4cosθ,3sinθ)是椭圆
上的任意点.
注意：(1)椭圆的普通方程化为参数方程结果不是惟一的.
(2)把椭圆的普通方程化为参数方程熟练之后，在求椭圆上的点到定点或定直线的最大、最小距离时，将是很方便的.
［例7］在椭圆
上到直线l:3x-2y-16=0距离最短的点的坐标是______，最短距离是______.
分析：设椭圆
上的任意一点为M（2cosθ,
sinθ）则M点到直线l的距离
∴当φ－θ=
时，d有最小值
此时，θ=φ-
，sinθ=-cosφ=-
,cosθ=sinφ=
∴M点坐标是（
）
注意：求最值问题，三角代换是一种常用的方法，而圆、椭圆的参数方程，实质就是三角代换，它使二元x,y转化为一元θ,将代数问题转化为三角问题，使问题化繁为简.
Ⅲ.课堂练习
（1）已知椭圆的参数方程
(θ是参数)，则它的标准方程是______.
答案：
（2）已知椭圆的方程
,以离心角φ为参数，则椭圆的参数方程是______.
答案：
(φ为参数)
（3）已知椭圆的参数方程
(θ为参数)，则此椭圆的长轴长是______，短轴长是______，焦点坐标是______，准线方程是______，离心率______.
答案：2
2F1（0，
），F2（0，-
）
y=±
（4）曲线
(θ为参数)的焦距是______.
答案：2
（5）曲线的参数方程
(θ为参数)，则此曲线是______.
A.椭圆 B.椭圆的一部分
C.线段 D.直线的一部分
答案：C
Ⅳ.课时小结
本节课我们讨论了椭圆的参数方程，以及参数方程与普通方程的互化，特别是用参数表示出椭圆上的点后，（三角代换），给求最值问题带来了很大的方便.同学们要很好掌握这种方法，需要注意的是：求曲线的参数方程时，由于所选的参数不同，求出的参数方程形式也不一定相同.其次，参数方程化为普通方程结果是惟一的，而变通方程化为参数方程形式是多样的.
Ⅴ.课后作业
课本p103习题8.210，11
●板书设计
§8.2.2椭圆的简单几何性质（三） 例6的解答 例7的解答 课堂练习 小结 |
中考 高考名著
常用成语