椭圆 6 人教选修

椭圆的定义不仅是推导方程的基础，而且是证题的一把金钥匙.待证题目中有焦点的条件，常从定义出发，寻求证题方法，为证题创造条件，兹举例如下：

例1 已知p（x0,y0）是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以pF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.

证明 设以pF2为直径的圆心为A，半径为r.

∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知

|pF1|＋|pF2|=2a，|pF2|=2r

∴|pF1|＋2r=2a，即|pF1|=2（a－r）

连结OA，由三角形中位线定理，知

|OA|=

故以pF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.

评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证.

例2

设p是椭圆（a＞b＞0）上的一点，F1、F2是椭圆的焦点，且∠F1pF2=90°，求证：椭圆的率心率e≥

证明 ∵p是椭圆上的点，F1、F2是焦点，由椭圆的定义，得|pF1|＋|pF2|=2a ①

在Rt△F1pF2中,

由①2，得

∴|pF1|·|pF2|=2(a2－c2) ②

由①和②，据韦达定理逆定理，知|pF1|·|pF2|是方程z2－3az＋2(a2－c2)=0的两根，

则△=4a2－8(a2－c2)≥0,

∴()2≥，即e≥.

例3p为椭圆（a＞b＞0）上的点，F1、F2是椭圆的焦点，e为离心率.若∠pF1F2=α，∠pF2F1=β，求证：

证明 由椭圆定义，知|pF1|＋|pF2|=2a，|F1F2|=2c

∵

由正弦定理，得|pF1|=2Rsinβ,|pF2|=2Rsinα，|F1F2|=2Rsin(α＋β)

例4p是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，半短轴为b,且∠F1pF2=α.求证：△pF1F2的面积为

证明 由椭圆的定义知|pF1|＋|pF2|=2a，又|F1F2|=2c.

在△pF1F2中，由余弦定理，得