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椭圆 7 人教选修

●教学目标

能力训练要求

1.深化椭圆的性质学习.

2.提高解题的综合能力.

●教学重点

学生解题综合能力的培养与提高

●教学难点

学生解题综合能力的培养与提高

●教学方法

师生共同讨论法

通过对具体问题的分析与讨论,使学生对综合问题有一个清楚的认识,并通过综合题的解答,提高学生的语言表达能力,运算能力,探索能力,分析问题解决问题的能力.

●教具准备

投影片五张

第一张:本课时教案的例8(记作§8.2.4 A)

第二张:本课时教案的例9(记作§8.2.4 B)

第三张:本课时教案的例10(记作§8.2.4 C)

第四张:本课时教案的例11(记作§8.2.4 D)

第五张:本课时教案后面的预习内容及预习提纲(记作§8.2.4 E)

●教学过程

Ⅰ.课题导入

[师]上节课我们学习了椭圆的参数方程,并且讨论了参数方程与普通方程的互化,以及参数方程的应用,请同学们回忆一下,参数方程化为普通方程时的关键是什么?

[生]参数方程化为普通方程的关键是消去参数.

[师]消去参数的方法有哪些呢?

[生]利用三角函数中同一个角的三角函数的平方关系.

[师]还有吗?请注意,我问的是参数方程化为普通方程时消去参数的方法.

(学生思考)

[生甲]代数中的加减消元法,代入消元法,也能用来消去参数.

[生乙]三角函数中的倒数关系也能用来消参.

[生丙]要根据参数方程的不同形式用不同的方法,只要能消去参数的方法都能用.

[师]上述三位同学说得非常好,参数方程化为普通方程时,关键是消参,这是我们的最终目标,无论用什么方法,实现目的为原则.

[师]普通方程化为参数方程的实质是什么?

[生]用一个参量将xy表示出来,当然表示的形式越简单越好.

[师]要得到简单而准确的表示方法,就要根据变通方程的结构特点,恰当地选用参数,这样做了之后,在求某些最值问题时,将是很方便的.

为了巩固前面我们所学的知识,这节课我们继续通过例题去体会知识间的联系.

Ⅱ.讲授新课

[师]首先来看这样一个题目(打出投影片§8.2.4 A)

[例8]将椭圆按向量(1,2)平移,则平移后的椭圆方程为______.

[师]怎样得到平移后的椭圆方程呢?

[生]由平移公式

代入原方程得

∴平移后的椭圆的方程为:

[师]这种方程从形式上看,与椭圆的标准方程一致,我们将称为椭圆的标准型方程.

注意:练习此题的目的在于想让学生了解椭圆的标准型方程的形式,以后遇到这种形式的椭圆时,不会感到茫然.

[师]再看这样一个题目

(打出投影片§8.2.4 B)

[例9]椭圆的焦点是F1和F2,点p在椭圆上,如果线段pF1的中点在y轴上,那么|pF1|是|pF2|的 ( )

A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍

[师]拿到这个题目首先应该干什么?

[生]根据题意画出图形.

[师]大家试着画一画,将已知条件反映在图形上,看能得出些什么呢?

[生](画图)

pF1的中点My轴上且原点OF1F2的中点

MOpF2,△pF1F2为直角三角形

|pF1|+|pF2|=2a=4

|pF1|2-|pF2|2=|F1F2|2=36

继续对以上两个方程所组成的方程组求解可得出|pF1|与|pF2|,从而知道它们之间的关系.

[师]好,谁来把这个过程表述一下?

[生甲]已知a=2,b=

c=3

pF1的中点在y轴上且OF1=OF2

pF2∥y轴

∴△pF1F2是直角三角形

设|pF1|=r1,|pF2|=r2

r1=7r2

即|pF1|=7|pF2|

故应选A

[师]解选择题是没有必要写出详细解答过程的,但思路必须清楚.另外,在解答解析几何的有关问题时,要充分运用平面几何的性质.

[师]下面我们再来看一道较复杂一点的题目.(打出投影片§8.2.4 C)

[例10]设椭圆的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=,已知点p(0,)到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点p的距离等于的点的坐标.

分析:此题的关键是确定ab的值,而确定ab的值需要两个关系式,这里由e=可得到ab的一个关系式,再由椭圆上的点到点p的最大距离是又能得到一个关系式,由此两个关系式即可确定出ab的值.由题目中的e=容易得到一个关于ab的关系的式子,但另一个关于ab的关系式子却比较复杂了,需要设出一个点(椭圆上的)写出该点到点p的距离为d,求出d的最大值,由其最大值是得到.

[师]思路理顺了,下面我们来看一下怎样实现我们的目标.

解法一:设所求椭圆的方程是:

(ab>0)

e2=

a=2b

设椭圆上任一点(x,y)到点p的距离为d,则

(其中-byb)

b,则当y=-b时,d有最大值b

由已知得b=,

b=-b矛盾

b,则当y=-时,d有最大值

由已知得=,由此得

b=1,a=2

∴所求椭圆方程是

则由y=-及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点(-,-)和(,-)到点p的距离是.

解法二:设所求椭圆方程为:

(ab>0)

e2=

a=2b

设椭圆上任一点(acosθ,bsinθ)到点p的距离为d,(0≤θ<2π)

(这里是用参数形式表示椭圆上任一点)

>1,即b

则当sinθ=-1时,d有最大值b

由已知得b=

b=-b矛盾

≤1,即b

则当sinθ=-时,d有最大值

由已知得=

b=1,a=2

∴所求椭圆的方程为

由sinθ=,b=1,a=2得椭圆上的点.

(-,-)和(,-)到点p的距离是

注意:在应用配方法求最值时,一定要注意变量的取值范围.如解法一中-byb,还要考虑是否在区间[-b,b]内,于是分bb两种情况讨论;同样在解法二中-1≤

sinθ≤1,分不在区间[-1,1]内和在[-1,1]内两种情况研究.不明以上道理,在解法一中盲目地得出y=-d取最大值,虽能得出正确答案,但毫无道理.

[师]下面我们再来看一下综合题目

(打出投影片§8.2.4 D)

[例11]已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,直线y=x+1与该椭圆相交于pQ两点,以pQ为直径的圆经过原点O,且|pQ|=,求椭圆的方程.

[师]此题求的是椭圆的方程,即清楚轨迹类型,首先应该怎么办?

[生]设出椭圆的方程.

[师]已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,其方程该是什么形式?

[生乙]设所求椭圆的方程为ab>0)

[师]生乙所设正确吗?

[生丙]不完整,还应补充上所求椭圆的方程为(ab>0),因为已知中只说了焦点在坐标轴上,而没有说焦点在哪个轴上,所以焦点既可能在x轴上,也可能在y轴上,因而设出的方程应该有两种形式.

[师]生丙同学所答很好!我们在考虑问题时,不能遗漏任何一种可能的情况,但这样一来,又给问题的解决带来了麻烦,要在两种方程的前提下,去解两次同样的题目,这不很麻烦吗?

[生丁]可以用“同理”减少点儿麻烦.

[师]生丁同学谈得很好,用“同理”确实能减少点麻烦,大家回顾一下我们解题中用“同理”情况,它能减少些什么麻烦?

[生]解题过程中的表述不需要再一步步细细推理或推演了.

[师]正确,但不表述能否就不要去进行相应的计算了呢?

[生]计算不能少,一步也不能少.

[师]为了避免在两种方程的前提下去解两次同样的问题,我们可以把方程设为

mx2+ny2=1(m>0,n>0)

[师]下面我们继续分析.

[师]直线y=x+1椭圆交于pQ两点,说明方程组有两组不同的解,以pQ为直径的圆经过原点O,说明∠pOQRt∠,即OpOQ,也就是kOp·kOQ=-1,或者xp·xQyp·yQ=0,可得到m·n的一个关系式;|pQ|=又可知mn的一个关系式,联立解之即可求出mn的值,从而确定方程.

解:设所求椭圆的方程为

mx2+ny2=1(m>0,n>0)

依题意得:

将②代入①得mx2+n(x+1)2=1

整理得:

(mn)x2+2nxn-1=0

px1,y1),Q(x2,y2)

y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1

y1y2=

∵以pQ为直径的圆过原点O,则OpOQ

x1x2+y1y2=0,即=0

mn=2 ④

将④代入③中得

∵|pQ|=

|pQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=

即[(x1+x2)2-4x1x2](1+12)=

∴4n2-7n+3=0

解之得,n=n=

∴所求椭圆的方程为x2+y2=1

x2+y2=1

Ⅲ.课时小结

本节课我们讨论了有关椭圆的几个综合题的解法,对于综合题,我们一定要掌握分析的方法,并弄清题意,各个击破,达到解决问题的目的.

Ⅳ.课后作业

(一)1.椭圆的长轴长和短轴长的和是20,焦距等于4,则椭圆的标准方程是______.

2.若椭圆的焦点在x轴上,焦点到短轴端点的距离等于2,到相应准线的距离等于3,求此椭圆的标准方程.

3.椭圆内有一点M(0,5),在椭圆上有一点N,使|MN|有最大值,求N.

答案:1.

2.

3.N(4,-5)或(-4,-5)

(二)1.预习内容:p104双曲线及其标准方程至例2结束.

2.预习提纲:

(1)双曲线及其焦点,焦距的定义是什么?与椭圆及其焦点、焦距相比较有哪些相同点与不同点?

(2)双曲线的标准方程有几种形式?分别是怎样的?与椭圆的标准方程比较有什么区别?

(3)怎样的双曲线其方程为标准方程?标准方程所表示的双曲线其图形有什么特征?你能根据双曲线的标准方程确定焦点的位置吗?

(4)对于双曲线abc的关系怎样?与椭圆中abc的关系有什么区别?

(5)求满足条件的双曲线的标准方程的关键是什么?

●板书设计

§8.2.4椭圆的简单几何性质(四)

例8

例9

例10

例11

小结

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