椭圆参数方程的深入探究 人教选修
1.教学椭圆的参数方程时，要注意些什么？
答：①使学生弄清椭圆参数方程的来源，明确椭圆的参数方程，是表示椭圆的又一种方程，它是相对于直接给出曲线上动点的坐标x,y的关系的普通方程而言的，是一种通过第三个量中间接表示x,y之间关系的形式.
②熟练掌握椭圆参数方程
与标准方程的关系，做到互化并灵活应用.
2.椭圆的参数方程在证明问题中的应用
［例1］设A（x1,y1）为椭圆
上一点，过A作一条斜率为-
的直线l，又设d为原点到直线l的距离，r1,r2分别是A点到椭圆两焦点的距离，求证：
·d为常数.
分析：可利用椭圆参数方程.
证明：设椭圆参数方程为：
(θ为参数)
∵A(x1,y1)在椭圆上
∴
∴直线l的方程为：
cosθ1·x＋2sinθ1·y-2=0
∴d=
∴
(常数)
∴得证
注意：由于本题涉及到椭圆上一点到焦点的距离问题，所以可使用“焦半径”公式进行推理和运算，请读者自行完成.
［例2］AB是椭圆
=1的任意一条弦，p为AB的中点，O为椭圆的中心.
求证：kAB·kOp为定值.
证明：设A、B两点坐标分别为(acosθ,bsinθ)(acosφ,bsinφ)
∵p(x,y)是AB的中点
∴x=
(cosθ＋cosφ)
y=
(sinθ＋sinφ)
∴kAB=
kOp=
∴kAB·kOp=
∵sin2θ-sin2φ=1-cos2θ-1＋cos2φ=-(cos2θ-cos2φ)
∴kAB·kOp=-
3.椭圆的参数方程在与椭圆有关的最值问题中的应用.
［例3］若实数x,y满足
=1，试求：v=y-3x的最大值.
解：设椭圆上一点的坐标为(4cosθ,5sinθ)，则
v=y-3x=5sinθ-12cosθ=13sin(θ－φ)(arctan
=φ)
∴当θ=
＋φ时，vmax=13.
评述：(1)本题是利用椭圆的参数方程设出动点坐标，再运用三角函数式的变换，通过讨论三角函数式的最值而得解的.
(2)以上方法让我们体会到了巧用椭圆参数方程所带给我们的简单和明快.
［例4］已知x,y满足
，求
f(x,y)=x2＋2xy＋4y2＋x＋2y的最大值.
解：将
=1转化成参数方程
即
∴f(x,y) =(x2＋4y2)＋(2xy＋x＋2y)
=4＋(2·2cosθsinθ＋2cosθ＋2sinθ)
=4cosθsinθ＋2(cosθ＋sinθ)＋4
令t=cosθ＋sinθ
则2sinθcosθ=t2-1
∴f(x,y)=2(t2-1)=2t＋4=2(t2＋t＋1)
∵t=cosθ＋sinθ=
sin(θ＋
)≤
∴f(x,y)有最大值为:
2［(
)2＋
＋1］=2(3＋
)
评述：运用椭圆的参数方程于求最值问题中，其解法的巧妙简单令人陶醉，数学中一定要注重培养学生的技巧能力.
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