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椭圆的一些有趣性质及其应用 人教选修

教材中只介绍了椭圆的一些基本性质.在实际中,椭圆还有一些有趣的性质.探讨这些性质,不仅可以丰富解题思路,而且还可以培养我们的创新意识,在学习过程中会有所发现.本文介绍几个性质以示抛砖引玉.

一、椭圆上点对两焦点张直角的性质

是椭圆上的一点,是左、右焦点,是椭圆中心,e是离心率,OP的倾斜角为α,则∠PF=90°的充要条件是

证明 如图,在△PF中,∠PF为直角的充要条件是(平面几何定理)

点坐标为(x,y),则,代入椭圆方程得:

∴整理得

例1是椭圆上的一点,为两焦点,若∠PF=90°,试求

PF的面积.

解 设OP的倾斜角为α,又知,代入可得

二、椭圆准线上点对长轴顶点视角的性质

椭圆准线上的点对其长轴两顶点的视角为α,若椭圆的离心率为e,则α是锐角且e

证明 如图,设x轴上方,坐标为

为锐角.

整理为y的方程

∵此方程有实根,∴

α为锐角,∴

例2是椭圆右准线上的一点,点对此椭圆左右两顶点1、2的视角为α,求α的最大值.

解 ∵

由题设及性质得

又知α为锐角,∴α的最大值为

三、椭圆中心点张直角的性质

若椭圆上有两点,且OAOB,则原点到弦AB的距离

证明 如图,设∠BOXα,则∠AOXα,设OBm>0,OA=n>0,A点为

(-点为(),代入椭圆方程整理得

由等面积法得

例3 直线与椭圆交于两点,当k为何值时,以AB为直径的圆通过坐标原点.

a=2,,∵AB为直径的圆过原点,∴OAOB,由性质及原点到直线距离公式得

,解之得

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