椭圆及其标准方程的学习 人教选修
椭圆是一种常见而重要的曲线，对它的学习我们要通过它的方程去进一步深入研究它的几何性质，而对椭圆的定义及其标准方程的熟练掌握则是我们以后继续学习的基础和预备知识.
1.深刻理解椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离和等于常数2a(2a＞|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆，用集合语言可叙述为：点集p={M|MF1|＋|MF2|=2a,a＞0,2a＞|F1F2|}.
问题1：若点M满足条件|MF1|＋|MF2|=2a(a＞0,F1、F2是平面内的两个定点)，则它的轨迹一定是椭圆吗？反过来，如果一个点M的轨迹是椭圆，一定有|MF1|＋|MF2|=2a（a＞0）这一条件吗？
分析：从上节课我们画椭圆的实际操作中可以得到：当M满足：|MF1|＋|MF2｜=2a且
2a＞|F1F2|条件时，才能得到一个椭圆，同样可以得到，若M的轨迹是一个椭圆，则它一定满足|MF1|＋|MF2|=2a(a＞0)这一条件.
评述：深刻理解以上问题的关键是：从实际出发，通过实践从而巩固理论.
问题2：将定义中的“2a＞|F1F2|”改成“2a=|F1F2|”或“2a＜|F1F2|”时，点M的轨迹如何呢？
分析：理解透彻以上问题仍可提醒学生在实践中总结理论，通过直接具体的实践不难发现和得到：
当2a=|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2.
当2a＜|F1F2|时，点M的轨迹是不存在的.
评述：以上两个问题思考之后，可以得出：
“动点M到两个定点F1、F2的距离和|MF1|＋|MF2|=2a(a＞0)”是“点M轨迹是椭圆”的必要而不充分条件.
注意：椭圆的定义是我们对它方程式的推导的依据.
请读者试探索以下题目：
到两个定点F1（-2，0）和F2(2,0)的距离之和不小于4的点M的轨迹是什么？
答案：线段或椭圆
2.熟练掌握椭圆的标准方程：
问题1：在学习椭圆的标准方程时，应注意些什么？
分析：①椭圆的位置特征与它的标准方程形式是统一的.椭圆的位置由其中心位置和焦点位置确定，即当椭圆的中心在原点，焦点在x轴上时，对应的方程为
=1(a＞b＞0).当椭圆的中心在原点，焦点在y轴上时，对应的方程是
=1(a＞b＞0).
②在求椭圆的标准方程时，应从“定位”与“定量”两个方面去考虑，“定位”是指确定焦点所在的坐标轴，以判断方程的形式；“定量”是指确定方程中的a2与b2的具体数值，常常通过待定系数法去求.
问题2：在具体去求椭圆的标准方程时，应怎样进行“巧设巧求”呢？
下面通过具体例子说明：
［例1］根据下列条件，求椭圆的标准方程.
①坐标轴为对称轴，并且经过两点A（0，2）和B（
）.
②坐标轴为对称轴，一焦点为（0，
），且截直线y=3x-2所得弦的中点横坐标为0.5.
③经过点（2，-3）且与椭圆9x2＋4y2=36有共同的焦点.
解：①设所求椭圆的方程为
=1(m＞0,n＞0)
∵椭圆过A（0，2），B（
）
∴
∴所求椭圆方程为：x2＋
=1
②根据题意设所求椭圆的方程为
=1(a＞b＞0)
∵c=
∴a2=b2＋50
∴
消去y得：
10(b2＋5)x2-12b2x-b2(b2＋46)=0
设直线与椭圆相交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点，则x1、x2是以上方程的根且有Δ＞0
即5b3＋2b2＋43b＋100＞0(*)
∴x1＋x2=
∵
∴b2=25,∴a2=75
将b2=25代入*中成立
∴所求椭圆的方程为：
=1
③∵椭圆9x2＋4y2=36的焦点为（0，±
），则可设所求椭圆方程为：
=1(m＞0)
将x=2,y=-3代入上式得：
解得：m=10或m=-2（舍去）
∴所求椭圆的方程为：
=1
评注：①小题中所求椭圆方程设为
=1(m＞0,n＞0)，这是因为题中未给定焦点所在的坐标轴，如若用常规思路设为
=1（a＞b＞0）或
=1(a＞b＞0)去求时，运算过程将会非常繁琐，而且还要舍去一个不符合题意的.因此，在焦点位置未明确的情况下，本题所设方程是恰当合理的，简单易行的.如遇类似问题时我们不妨采取这一设法.
②小题中的解法体现了求椭圆方程的一般方法，通过“定位”与“定量”两个过程可求得所求椭圆方程，但本题注意到方程结构的特点可直接求出a2、b2而无需再去求a、b了，另外，此题要根据根与系数的关系去求b2,在消去y的过程中因运算量较大，故应小心谨慎一些.
③小题中的设法也不失为一种好的设法.
因已知椭圆的焦点为（0，±
），如若能注意到方程
=1(m＞0)表示的是其焦点F1（0，-
）、F2（0，
）的椭圆方程时，问题将会变得简单易解，使我们感到得心应手.在以后学习过程中如遇类似问题不妨采取这种设法.
注意：确定圆锥曲线的方程是解析几何里的一类重要题型，常规解法固然思路简单自然，但在很多情况下，它会使我们陷入运算量繁琐的困境中，因此“巧设巧求”会带给我们事半功倍的效果.
3.深入学习“定义法”求“动点轨迹”.
问题1：椭圆的定义在求点的轨迹问题中发挥着巧思妙解的作用，它是如何体现的呢？
以下试通过具体例子说明：
［例2］平面内两个定点距离是8，求到两个定点距离的和是10的点的轨迹.
解法一：设两个定点分别为F1、F2，以两个定点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则F1（-4，0），F2（4，0）.
设M（x,y）为轨迹上任一点，依题意得：
∴
=10
整理得：9x2＋25y2=25×9
即：
∴点的轨迹是一个椭圆.
解法二：根据椭圆的定义，可知所求点的轨迹是一个椭圆，以过F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系.
∵2a=10,2c=8
∴a=5,c=4
∴b2=
=3
∴所求点的轨迹方程为：
∴点的轨迹是一个椭圆.
评述：①解法一用的是“坐标法”，其思路简单清晰，但运算量繁琐；解法二巧妙地用了椭圆的定义直接写了轨迹方程，这种求轨迹的方法叫定义法.
②“坐标法”与“定义法”都是解析几何中求点轨迹问题的重要方法，两种方法起着互相补充的作用，要具体问题灵活分析应用.
请读者对以下题目分别用两种方法讨论，并体会准确恰当地选择方法对我们解题的影响程度如何.
在△ABC中，A、B、C所对的三边分别是a、b、c，并且B（-1，0），C（1，0），求满足b＞a＞c,b,a,c成等差数列时，顶点A的轨迹.
答案：A点的轨迹方程是
，即A点的轨迹是椭圆的左半部分，且除去
（-2，0）这一点.
［例3］一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5=0外切，同时与圆x2＋y2-6x-91=0内切，求动圆圆心的轨迹.
解法一：设圆圆心为p（x,y），半径为R，两已知圆的圆心分别是O1，O2.
分别将已知两个圆的方程
x2＋y2＋6x＋5=0与x2＋y2-6x-91=0配方，得：
（x＋3）2＋y2=4与(x-3)2＋y2=100
当圆p与圆O1：(x＋3)2＋y2=4外切时，
有|O1p|=R＋2 ①
当圆p与圆O2：（x-3）2＋y2=100内切时，
有|O2p|=10-R ②
①、②两式的两边分别相加，得
|O1p|＋|O2p|=12
即：
=12 ③
化简得：
∴动圆圆心的轨迹是椭圆
解法二：同解法一得方程
=12 ①
由方程①可知，动圆圆心p（x,y）到点O1（-3，0）和点O2（3，0）距离和是常数12，所以点p的轨迹是一个椭圆，并且这个椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在x轴上，于是可求出它的标准方程.
∵2c=6,2a=12
∴c=3,a=6
∴b2=36-9=27
∴动圆圆心的轨迹方程为：
∴动圆圆心的轨迹是一个椭圆
评述：通过以上例题的分析我们不难体会出圆锥曲线（这里是椭圆）的定义在简化计算方面发挥着巨大的功效，值得我们特别注意.
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