椭圆中最大值、最小值问题的常用方法 人教选修
解决与椭圆有关的最值问题除可利用椭圆的参数方程外，以下几种方法也是常用的.
［例5］已知x,y∈R,且x,y满足方程x2＋4y2=1，试求f(x,y)=3x＋4y的最大值、最小值.
分析：将所求f(x,y)=3x＋4y经过令z=f(x,y)变形为y=
，而
是直线在y轴上的截距，再根据A(x,y)是x2＋4y2=1上的点，故可采用判别式法去解决.
解：
①代入②中，得
13x2-6zx＋z2-4=0
∴Δ=36z2-4×13(z2-4)≥0
∴-
≤z≤
∴3x＋4y的最大值为
，最小值为-
.
注意：直线-3x±
=4y是椭圆的斜率为-
的两条切线.
［例6］已知椭圆x2＋2y2=98及点p（0，5），求点p到椭圆距离的最大值与最小值.
分析：以（0，5）为圆心，内切于椭圆的圆半径为r1，即点p到椭圆的最小值，以（0，5）为圆心外切于椭圆的圆的半径为r2,即点p到椭圆的最大值.
解：∵02＋2×52＜98
∴点（0，5）在椭圆内部
设以（0，5）为圆心和椭圆相切圆的方程为：
x2＋(y-5)2=r2 ①
将椭圆方程x2＋2y2=98代入①中，得
r2=-(y＋5)2＋148(-7≤y≤7)
∴当y=-5时，rmax2=148
即：rmax=2
当y=7时，rmin2=4，
即rmin=2
注意：本题的解法称为辅助圆法.
［例7］求定点A（a,0）到椭圆
上的点之间的最短距离.
解：设B（x,y）为椭圆上任意一点.
∴|AB|2=（x-a）2＋y2=(x-a)2＋1-
∴|AB|2=
(x-2a)2＋1-a2
∵x∈［-
,
］
若|a|≤
,则x=2a时，
|AB|min=
若a＞
,则x=
时，
|AB|min=|a-
|
若a＜-
,则x=-
时，
|AB|min=|a＋
|
注意：本题解法是函数法.
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