指数函数的性质应用（2）人教必修

教学目标

1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法。

2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法。

3.培养学生的数学应用意识。

教学重点

函数单调性、奇偶性的证明通法

教学难点

指数函数的性质应用

教学方法

引导式

教具准备

投影片2张（例5，例6）

教学过程

（I）复习回顾

师：上一节，我们一起学习了指数函数的性质应用，这一节，我们学习指数形式的复合函数的单调性、奇偶性的证明方法。首先，大家来回顾一下第二章第一单元所学的证明函数单调性、奇偶性的基本步骤。

1.判断及证明函数单调性的基本步骤：

假设作差变形判断

说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断。

2.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：

（1）考查函数定义域是否关于原点对称；

（2）比较f（-x）与f（x）或者-f（x）的关系；

（3）根据函数奇偶性定义得出结论。

说明：考查函数定义域容易被学生忽略，应强调学生注意。

师：接下来，大家来看例题。

（II）讲授新课

例1：当a>1时，证明函数是奇函数。

分析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。

证明：由ax-1≠0得，x≠0

故函数定义域{x|x≠0}关于原点对称。

所以，函数是奇函数。

例2：设a是实数，

（1）试证明对于任意a,f（x）为增函数；

（2）试确定a 值，使f（x）为奇函数。

分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。

（1）证明：设x₁,x₂∈R,且x₁2

由于指数函数 y=2^x在R上是增函数,且x₁2,所以2x¹<2x²即2x¹-2x²<0

又由2x<0得2x¹＋1>0,2x²＋1>0

所以f（x₁）-f（x₂）<0即f（x₁）2）

因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f（x）为增函数。

评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。

（2）解：若?（x）为奇函数，则f（-x）= -f（x）

解得：a=1

所以当a=1时,f（x）为奇函数。

评述：此题并非直接确定a值，而是由已知条件逐步推导a值。应要求学生适应这种题型。

（III）课堂练习

已知函数f（x）为偶函数，当x∈(0,＋∞)时，f（x）=-2^x＋1,求当x∈(-∞,0)时，f（x）的解析式。

（IV）课时小结

师：通过本节学习，要求大家进一步熟悉指数函数的性质应用，并掌握函数单调性。奇偶性证明的通法。

（V）课后作业

一、1.课本p79习题2.64.

2.已知函数

（1）判断函数f（x）的奇偶性；

（2）求证函数f（x）在（-∞，＋∞）上是增函数。

二、1.预习提纲：

（1）对数与指数有何联系？

（2）对数式与指数式如何互化？

板书设计

教学后记