综合法 人教选修1

第七教时

教材：不等式证明二（比较法、综合法）

目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。

过程：

一. 比较法：

1.复习：比较法，依据、步骤

比商法，依据、步骤、适用题型

2.例一、证明：在是增函数。

证：设2≤x1<x2, 则

∵x2 -x1>0,x1 ＋x2 - 4>0 ∴

又∵y1>0， ∴y1>y2 ∴在是增函数

二.综合法：

定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。

例二.已知a,b,c是不全相等的正数，

求证：a(b2 ＋c2) ＋b(c2 ＋a2) ＋c(a2 ＋b2)>6abc

证：∵b2 ＋c2 ≥ 2bc,a>0 , ∴a(b2 ＋c2) ≥ 2abc

同理：b(c2 ＋a2) ≥ 2abc,c(a2 ＋b2) ≥ 2abc

∴a(b2 ＋c2) ＋b(c2 ＋a2) ＋c(a2 ＋b2) ≥ 6abc

当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a,b,c是不全相等的正数

∴a(b2 ＋c2) ＋b(c2 ＋a2) ＋c(a2 ＋b2)>6abc

例三.设a,b,cR，

1°求证：

2°求证：

3°若a＋b= 1, 求证：

证：1°∵∴

∴

2°同理：，

三式相加：

3°由幂平均不等式：

∴

例四.a,b,cR, 求证：1°

2°

3°

证：1°法一：,, 两式相乘即得。

法二：左边

≥ 3 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 = 9

2°∵

两式相乘即得

3°由上题：

∴

即：

三、小结：综合法

四、作业： p15—16 练习 1，2

p18 习题6.3 1，2，3

补充：

1.已知a,bR＋且a1b，求证：（取差）

2.设aR，x,yR，求证：（取商）

3.已知a,bR＋，求证：

证：∵a,bR＋ ∴∴

∴

∴

∴

∴

4.设a>0,b>0，且a＋b= 1，求证：

证：∵∴∴

∴