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综合法 人教选修2

教材:不等式证明二(比较法、综合法)

目的:加强比商法的训练,以期达到熟练技巧,同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。

过程:

一、比较法:

1.复习:比较法,依据、步骤

比商法,依据、步骤、适用题型

2.例一、证明:是增函数。

证:设2≤x1<x2, 则

x2 -x1>0,x1x2- 4>0 ∴

又∵y1>0, ∴y1>y2是增函数

二、综合法:

定义:利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这个证明方法叫综合法。

例二、已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2c2) +b(c2a2) +c(a2b2)>6abc

证:∵b2c2≥ 2bc,a>0 , ∴a(b2c2) ≥ 2abc

同理:b(c2a2) ≥ 2abc,c(a2b2) ≥ 2abc

a(b2c2) +b(c2a2) +c(a2b2) ≥ 6abc

当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号,而a,b,c是不全相等的正数

a(b2c2) +b(c2a2) +c(a2b2)>6abc

例三、设a,b,cR

1°求证:

2°求证:

3°若ab= 1, 求证:

证:

1°∵

2°同理:

三式相加:

3°由幂平均不等式:

例四、a,b,cR, 求证:

证:

1°法一:,, 两式相乘即得。

法二:左边

≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9

2°∵

两式相乘即得

3°由上题:

即:

三、小结:综合法

四、作业:p15—16 练习 1,2

p18 习题6.3 1,2,3

补充:

1.已知a,bRab,求证:(取差)

2.设aRx,yR,求证:(取商)

3. 已知a,bR,求证:

证:∵a,bR

4.设a>0,b>0,且ab= 1,求证:

证:∵

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