“最大公约数与最小公倍数”复习课案例与反思

[教学实录]

这是一堂最大公约数与最小公倍数的复习课。由于在上午举行的班级运动中获得了总分第一名，班主任老师特地买了水果犒劳同学们。

上课伊始，教师刚组织学生复习了什么叫最大公约数？什么叫最小公倍数？突然，从一位同学的桌子底下滚出了一只大苹果。“啊，大苹果！”不知谁叫了一声。一下子，全班同学的注意力全集中到这个大苹果上，只有一位学生面红耳赤不知所措！

见此情景，教师灵机一动，走过去捡起了苹果，故意观察了一下，神秘地对同学们说：“同学们，这个苹果有来头哇！”

“什么来头？”学生们惊奇地睁大了眼睛。

“它给我们带来了一个数学问题。”

“哇！什么问题？老师你快说！”全班同学好奇地问。

于是，教师在黑板上写出了题目：

“运动会结束后，老师买来了69个苹果、103个梨、150个桃，分给全班同学，每个人要分得一样多，结果桔子剩7个，梨剩10个，桃缺5个，问学生最多有几人？”

学生觉得这个问题太有意思了，纷纷想举手回答，但手举到一半却又放了下去，整个班级进入了“愤”“悱”的境地。

这时，教师对学生说：同学们不要性急，先思考一下，这个问题可以用我们学过的什么知识来解答？

生：好像可以用求公约数的办法解决。

师：能说出你的想法吗？

生：因为学生人数肯定是分掉的三种水果数的公约数。

师：有道理，同学们能分小组研究一下计算方法吗？

生：能！

分组研究后，学生逐渐清晰了解题思路：

生：可以先算出分掉了多少水果：

苹果69个剩7个，69－7＝62 （个）

梨103个剩10个，103－10＝93 （个）

桃150个缺5个，150＋5＝155（个）

学生数应是62、93与155的公约数，而最多人数必定是62、93与155的最大公约数。那么，学生数最多有：

（62，93，155）＝31（人）

师：看来，在我们的身边就隐藏着不少与最大公约数和最小公倍数有关的数学问题！下面我们就来举行一次自编应用题比赛，以小组为单位，寻找我们身边的数学问题，编一道与最大公约数和最小公倍数有关的应用题，让大家解答，看哪一组编的巧妙。

生：行！

学生高兴地忙乎起来，有的相互讨论着，有的拿起笔计算着，有的开始观察四周……

不一会儿，第二组的一位学生举手站了起来——

生：这个学期我们学校成立了许多兴趣小组，三棋小组2天活动一次，科技小组3天活动一次，书法小组5天活动一次。第一次活动都是9月10日，请大家算一下，本学期的几月几日这几个兴趣小组又在同一天活动？

第三组的一位学生马上举手站了起来——

生：这好算，2、3、5是互质数，他们的最小公倍数是30，那么，再过30天，也就是10月10日

一石激起千层浪，这一下启发了学生的思维，也激起了他们的学习热情。经过小组分析讨论，一个个身边的数学问题被学生挖掘出来。

第一学习小组同学研究了本校五年级两个兄弟班级人数后编写的问题引起了全班学生的浓厚兴趣：

“五（1）班是36位学生，五（1）班和五（2）班学生数的最大公约数是4，最小公倍数是288，请大家算算五（2）班有多少学生？”

第二学习小组同学讨论后提出了如下解题方案：

根据两个自然数的乘积=这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积，可得：

36×五（2）班人数=4×288，

五（2）班人数=4×288÷36，

解出五（2）班人数=32（人）。

教师充分肯定了第二小组学生根据“两个自然数的乘积=这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积”这一关系式，算出了五（2）班学生人数，这一正确的解题思路，跟着问了一句：大家还有什么疑问需要交流？

想不到第四学习小组一名学生马上举手发言：老师，我们有另一种方法可以求五（2）班的人数。

师：好哇，请说！

生：36÷4=9

288÷9÷4=8

8×4=32

这一想法出乎学生意外，看着还有一些同学面露疑惑，教师就鼓励这位学生走上讲台，讲述自己的想法。

生：我们想到用短除法求两班学生数的情况，如果这两班学生数都除以他们的最大公约数4，所得的商肯定是一对互质数。而最小公倍数就是最大公约数与这两个商的乘积。其中一个商是36÷4=9，那么另一个商就是288÷9÷4=8

所以，五（2）班人数是4×8=32。

“真不简单！”我由衷地为学生丰富的想象、积极的思维鼓掌。

随着一个个问题的发现、解答，数学的奇妙激发了学生学习的兴趣，下课了，他们似乎还意犹未尽，还在互相讨论着、争辩着、与老师交流着……

[教学反思]

本节课，学生兴趣浓厚，学得积极主动。反思整个教学过程，成功之处有二：

1、巧设情境，合理诱导，实现学生自我探求的需要。

为激发学生探究现实生活中数学问题的兴趣，教师精心安排了如下教学环节：首先，巧妙地将学生刚刚经历的运动会上分水果一事转变为现实的数学问题，使学生感到数学问题就产生于自己的身边，激发了探求的欲望；接着，通过学生独立思考、小组交流、讨论、分析解决了这一现实的数学问题，感受到解决我们身边数学问题的乐趣；然后鼓励学生自己寻找生活中素材，自编题目，实现了学生自我探求的欲望；最后，在合作解题的过程中增加了对“最大公约数”与“最小公倍数”等概念的理解，体验了自主探究学习的快乐。整堂课学生始终精神饱满，情绪高涨。

2、大胆放手，勇于突破，拓宽学生的学习时空。

在教学中，教师并不拘泥于教材，在充分理解教科书设计意图的基础上，不仅放手让学生编题，更让学生自主探求解决问题的办法。将教科书内容与学生真实生活问题整合起来，这为学生提供了充分的学习空间。如：教师运用教学机智，由“一位同学的桌子底下滚出了一只大苹果”这一课堂中出现的意外事件引出了现实生活中的数学问题，为教学活动创造了一种学生容易接受的气氛。然后通过生生之间、师生之间的讨论交流解决了问题，揭示出数学知识就在我们身边，再鼓励学生自己寻找生活中的数学问题，自编应用题。学生觉得是在分析和研究自己的生活，因而愿意全身心地投入，学生兴趣浓厚、思维活跃、气氛热烈，创造的火花时时闪现。如：提出的“三个兴趣小组下一次几月几日一起活动？”，“算算五（2）班学生人数”等问题，这些问题贴近学生生活实际，构思巧妙，激发了全体学生的解题热情。又如：算算五（2）班学生的第二种方法：36÷4=9，288÷9÷4=8 ，8×4=32，学生想到了用短除法求两班学生数的情况，如果这两班学生数都除以他们的最大公约数4，所得的商肯定是一对互质数。而最小公倍数就是最大公约数与这两个商的乘积。其中一个商是36÷4=9，那么另一个商就是288÷9÷4=8，所以，五（2）班人数是4×8=32，这种独特的思路是以前教学中很少见的。正是在兴趣盎然、轻松愉快的学习氛围中，学生加深了对最大公约数、最小公倍数含义的理解，培养了数学思维能力。

[教学感悟]

1、教学内容要贴近生活，用数学的魅力感召学生主动探究。

“关注学生已有的生活经验，灵活处理教材。”这是我在《新课程标准》的学习中体会最深的一句话，但是要在课堂上真正地做到就不那么容易了。的确，现行的小学中高年级数学课本和练习册中，有相当多的习题与现实生活（特别是儿童的生活）相脱离，无论从内容到形式都缺乏应用味。实在难以调动学生学习积极性，与《新课程标准》所提出的“逐步培养学生运用知识解决简单问题的能力”目标相距甚远。要真正用好教材，教学中应树立通过自己的实践来验证、完善教材的意识。

前苏联教育家赞可夫说：“如果真正的、广阔的生活冲进教室的门而来到课堂上，教室的天地就开阔了。”教师在教学中如果把实际问题转化为数学问题，引导学生运用数学的观念、态度和眼光去观察事物、解释事物，理解数与数、数与形、数与量、量与量之间的关系，认识事物的数据信息和形体表象，建立空间观念，以形成量化意识和良好的数感。使数学与现实世界的距离在学生心目中大大缩短，同时也培养了学生强烈的数学意识与数学情趣。

2、知识的呈现要精心设计，为学生创设“内化”情境。

《新课程标准》指出：“数学内容的呈现形式应多样化、以保证学生积极主动地参与整个学习过程，使他们的数学学习是一个生动活泼、主动和富有个性的过程”。在实际教学中，教师总是比较注重“知识导入情境的创设”，而到联系、复习阶段往往直接出示习题或打开课本联系。使学生产生一种让老师牵着鼻子走的枯燥、压抑感，影响了知识的“内化”。为此，教师应当创造性地使用教材，把练习内容用学生喜闻乐见的形式展示出来，淡化“练”的痕迹，巩固和实践相关的知识技能，发展数学思考能力。

如何创设知识“内化”情景？我以为：立足于培养学生的实践能力与创新意识是一个重要原则，另外几个重要的方面是：

（1）“趣味性”。激发兴趣应该是一个选材因素，一个极有吸引力、具挑战性、非常有趣的问题，足以引起同学们的探索欲望；

（２）“开放性”能引起学生发散性思维和运用已知探索未知从而发现、创造数学的一种境界, 置学生于一种动态、开放、主动、多元的学习环境中,对培养学生的创新意识、创新思维与合作精神有很好的作用。

（３）“实用性”。问题来源于课本，来源于日常生活、社会生活或者生产实践，也可以来源于其他学科。

（４）“植根于课本，着眼于提高”。选题不能太脱离课本实际，应有利于学生参与，自主探究，力所能及，层层深入。。

当然，创设知识“内化”情景，关键还是需要教师主动驾驭教学内容，并在教学方法、手段、形式等方面保证学生对数学知识的主动获取，

3、民主的课堂是培养学生的合作意识和交往能力的肥沃土壤。

合作学习是儿童非常喜欢的一种学习方式。这种学习方式，有利于培养学生的合作意识和交往能力。同学之间互相启发，每个学生都可以通过小组讨论，吸收营养，集大家的智慧于一身。另外，在课堂上通过充分的合作与交流，营造了一种学生参与教学过程的氛围。那么，如何培养学生的课堂合作意识和交往能力？

“适宜的土壤和气候，是万物生长的基础。”营造民主的学习氛围，是发展学生合作学习、自主探索能力的有效方法。为此教师在教学中必须关注以下几点：第一，与学生平等对话。第二，要信任、赏识学生。在学习中激励学生去发现，引导学生去研究，组织学生去探索，用欣赏的眼光去支持，用热情的语言去赞美，成为学生的引导者、合作者、促进者和激励着。第三，要养成学生课堂合作学习的习惯。在教师的引导下，让学生真正懂得如何与他人融洽的协作学习，真正懂得正确对待研究中遇到的困难，能热情帮助身边同学排忧解难，能为别人提供急需的材料，能成全他人的计划等等。

记得一位数学特级教师说过这样一句话：我们小学数学教师最大的失败和悲哀，莫过于因为你而使学生害怕数学。只要教师认真贯彻新课程标准，以创新的思想不断改革我们的教学行为，就一定能让学生因为你而亲近数学、喜欢数学！ >